堆排序 [Algorithm]

老生常谈：

      插入排序最坏情况O(n²), 其内循环比较紧凑，对于小规模输入是一个快速的原地（数组中某个局部）排序算法。归并排序有着渐进运行时间nlgn时间，merge不在原地操作（merge最用在整个数组中）。堆排序正是前面两者优点的整合，在nlgn时间，对n个数进行原地排序^[1]。

 分析

      堆是典型的完全二叉树，n个元素的堆数组中。

      n/2（隐式下取整）+1 开始是叶子节点。证明：对于任意下标为i（从0开始）的非叶子节点，有性质：2*i+1, 2*i+2为其左右孩子，有2*i+1 <= n  and  2*i+2 <= n, 则最后一个非叶子结点为(int)n/2。下一个n/2+1为叶子节点。 

      堆排序关键是一个调整函数，每次递归调整某个子树，使其保持最大堆或者最小堆的性质，这个函数的一个细节是作用范围，以函数参数的形式传入。

 

代码实现

      程序中，通过宏在debug模式下，增加了一些“脚手架”，所谓的脚手架就是程序中加入输出以观察运行过程，度量代码以及组件测试的方法^[2]。这种辅助工具，有点像工业制造中的工装，工装”即生产过程工艺装备：指制造过程中所用的各种工具的总称。包括刀具/夹具/模具/量具/检具/辅具/钳工工具/工位器具等^[3]。

      有了脚手架的代码，看上去就不那么整齐，就像去工地一样，布满工装，肯定没有装修好的高楼大厦整洁干净~ 下面是整个代码：

#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <ctime>#include <cassert>using namespace std;void swap(int& a, int& b){typedef int type;type temp = a;a = b;b = temp;}/** 调节第i个结点，使保存最大堆特性 @param ptr 数组指针 @param range 堆调整的作用范围[0, range-1] @param i 当前被调节的结点 **/void max_heapify(int* ptr, int range, int i){typedef int type;typedef type* ptr_type;int left = i*2+1;int right = i*2+2;int largest;//记录left, i, right中最大元素下标//if ( left <= length && ptr[left] > ptr[i] )if ( left < range && ptr[left] > ptr[i] )largest = left;elselargest = i;//if ( right <= length && ptr[right] > ptr[largest] )//if ( right <= length && ptr[right] > ptr[i] )if ( right < range && ptr[right] > ptr[largest] )largest = right;if (largest!=i){swap(ptr[i], ptr[largest]);max_heapify(ptr, range, largest);}}void build_max_heap(int* ptr, int length){typedef int type;typedef type* ptr_type;int end = length/2;//end+1: first leaf position//for (int i(0); i<end; i++)for (int i=end-1; i>=0; i--)max_heapify(ptr, length, i);}// void heap_sort(int* ptr, int length){typedef int type;typedef type* ptr_type;build_max_heap(ptr, length);#ifdef _DEBUGcout << "The max heap is: " << endl;for (int t(0); t<length; t++) cout << ptr[t] << " ";cout << endl;cout << "Heap sort process: " << endl;#endiffor (int lastId(length-1); lastId; lastId--){swap(ptr[0], ptr[lastId]);#ifdef _DEBUGfor (int t(0); t<lastId; t++) cout << ptr[t] << " ";cout << "--";#endifmax_heapify(ptr, lastId, 0);//adjust [0, lastId-1].#ifdef _DEBUGfor (int t(lastId); t<length; t++) cout << ptr[t] << " ";cout << endl;#endif}}bool larger(int left, int right){return left < right;}int main () {#define P_2#ifdef P_1{int myints[] = {10,20,30,5,15};vector<int> v(myints,myints+5);vector<int>::iterator it;make_heap (v.begin(),v.end());sort_heap (v.begin(),v.end());cout << "final sorted range :";for (unsigned i=0; i<v.size(); i++) cout << " " << v[i];cout << endl;}#endif // P_1#ifdef P_2{const int test_num = 10000000;// 1 millionsrand((int)time(0));cout << "Test number " << "/t:/t/t" << test_num << std::endl;int* testPtr = new int[test_num];int* testPtr1 = new int[test_num];for(int idx=0; idx<test_num; idx++)testPtr1[idx] = testPtr[idx] = rand();clock_t t = clock();//build_max_heap(testPtr, test_num);heap_sort(testPtr, test_num);cout << "heap_sort " << "/t:/t/t" << clock() - t << std::endl;t = clock();make_heap(testPtr1, testPtr1+test_num, larger);std::sort_heap(testPtr1, testPtr1+test_num, larger);cout << "std::sort_heap " << "/t:/t/t" << clock() - t << std::endl;// Test the result validity for(int idx=0; idx<test_num; idx++)if (testPtr[idx]!=testPtr1[idx])cout << "wrong";delete[] testPtr;testPtr = 0;delete[] testPtr1;testPtr1 = 0;}#endif // P_2#ifdef P_3{int myints[] = {5,2,4,7,1,3,6};int length = sizeof(myints)/sizeof(myints[0]);heap_sort(myints, length);cout << endl;for (int i(0); i<length; i++) cout << myints[i] << " ";cout << endl;}#endif // P_3system("PAUSE");return 0;}

 

自己写的heap_sort与STL的sort_heap比，效率差了点（主要是验证思路），实验结果如下：

Test number : 10000000heap_sort : 7734std::sort_heap : 5556

后记

     建堆有两种方案：一种思路从最后一个父亲结点，逆序调整堆；另一种思路是从第二个元素开始插入法建堆。STL中是插入法建堆。插入法建大顶堆的思路：先将一个最小数字放到堆末尾，此时满足最大堆性质；然后循环增加键值，保持大顶堆的性质。

始终有个疑问，这种插入法建立的堆是否是唯一的？测试结果：对于一堆相同的输入，插入法建堆，调整方式建堆，和STL建堆 结果都不一样~

代码如下：

 void heap_increase_key(int* ptr, int pos, int key){ptr[pos] = key;int parent = (pos-1)/2;while( pos>=0 && ptr[parent]<ptr[pos] ){swap(ptr[pos], ptr[parent]);pos = parent;parent = (pos-1)/2;// pos is 0 ==> parent is 0// ptr[parent]==ptr[pos]// exit the while loop}}void heap_insert_key(int* ptr, int& lastId, int key){//lastId++;int imin = std::numeric_limits<int>::min();ptr[lastId] = imin;heap_increase_key(ptr, lastId, key);}void insert_build_max_heap(int* ptr, int length){typedef int type;typedef type* ptr_type;for (int i=1; i<length; i++)heap_insert_key(ptr, i, ptr[i]);}

add - 2010/12/8 p.m

 

[1] 算法导论 - 堆排序

[2] 编程珠玑 - 程序员的忏悔

[3] 百度百科 - 工装 http://baike.baidu.com/view/907594.htm

add - 2011/9/21 p.m

Find_Top_K问题：数组N中寻找最大的K个元素：

用前K[0 - k-1]个元素，建立小顶堆K-Min-Heap；

遍历K - N-1元素，和堆顶元素比较：

小于跳过，

大于则替换堆顶元素，调整K-Min-Heap结构使之保持小顶堆特性；

K-Heap的操作时间为log2(k)