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来源：互联网发布：广州一手房成交数据编辑：程序博客网时间：2024/06/06 14:39

Research on hash funciton

作者: 刘鹏

日期: 2008-11-26

哈希表是使用频率非常高的数据结构，其中哈希函数是哈希表的关键，本文介绍了哈希函数的基本概念、常见设计方法，并给出了一个优化实例。

简介

hash算法经常使用,不论是聚合分类也好,还是mc代码研究,或是CAS实现中,hash算法都起到了至关重要的作用。如果已经把hash从计算科学上转移到纯粹的数学问题来看待,那么D.E.Knuth的TAOCP第三卷,就是必读教材了.同时,在BobJenkins的网页上能看到很多hash相关的东西.

用数学的言论来理解hash算法,实际就是为一个集合A里面的元素,找到一个function f(A),让其全部映射到另一个集合 B 中去.而对于从 B 逆向回溯到 A是基本不可能的事情,那么该 f 便是一种hash算法.按照这种理解,将会存在如下两种情况:

如果A元素个数大于B元素个数,那么由抽屉原理,必定存在两个或两个以上的A 中元素映射到了 B 中同一元素,这时,一个冲突便产生了. 那么也就是说,一种将大范围的数据 hash 到一个小范围数据的 hash 算法,是无法保证其安全性能的.这时,应用的时候无非取决两个方面:
- 其一，应用于安全加密领域,那么取决于是否有可能取到大范围中超过或接近小范围个数的值,如果不能,算法是否能近似保证近难以产生冲突,这时 hash 存在是有意义的.
- 其二,不需要很高的安全性能,只是应用于查找和检索,恰当选择 primer,将O(logA) 的复杂度,降低至 O(A/primer) 的复杂度,也是可取的.这时,hash 的另一个特征便出现了,如果对于 A 中的元素,均匀的映射到了 B 上,那么,在这种情况下,该 hash 算法是优秀的.
第二，如果 A 元素个数小于 B 元素个数,这种 hash 是没有意义的,原因很简单,将 A 映射到 B 的目的就是减少处理 A 的复杂度的.

综上,hash应用于两类情况,区分好两类情况能更加有效的设计hash算法,同时设计hash算法还要考虑到算法的计算复杂度,也即计算机处理时长.应用于安全领域的要考虑产生冲突的概率,是否逼近单向函数;应用于查找领域的需要考虑hash是否均匀分布.也即R.W.Floyed给出的散列思想:

一个好的hash算法的计算应该是非常快的
一个好的hash算法应该是冲突极小化
如果存在冲突,应该是冲突均匀化

其中第一点和机器相关,第二和第三点和数据相关.

哈希函数的几种常见设计方法

hash算法的实现,目前主流设计可以从下面几种方面考虑:

加法hash
位运算hash
乘法hash
除法hash
查表hash
混合hash

加法hash

所谓的加法Hash就是把输入元素一个一个的加起来构成最后的结果。标准的加法Hash的构造如下：

static int additiveHash(String key, int prime)
{
    int hash, i;

    for (hash = key.length(), i = 0; i < key.length(); i++)
        hash += key.charAt(i);

    return (hash % prime);
}

这里的prime是任意的质数，看得出，结果的值域为[0,prime-1]。

需要注意的是，hash的结果除以一个prime的目的只是为了保证结果的范围。如果你不需要限制一个范围的话，可以使用如下的代码替代

”hash%primhash = hash ^ (hash>>10) ^ (hash>>20)

位运算hash

这类型Hash函数通过利用各种位运算（常见的是移位和异或）来充分的混合输入元素。比如，标准的旋转Hash的构造如下：

static int rotatingHash(String key, int prime)
{
    int hash, i;

    for (hash=key.length(), i=0; i<key.length(); ++i)
        hash = (hash<<4)^(hash>>28)^key.charAt(i);

    return (hash % prime);
}

先移位，然后再进行各种位运算是这种类型Hash函数的主要特点。比如，以上的那段计算hash的代码还可以有如下几种变形：

/* v1 */
hash = (hash<<5)^(hash>>27)^key.charAt(i);

/* v2 */
hash += key.charAt(i);
hash += (hash << 10);
hash ^= (hash >> 6);

/* v3 */
if((i&1) == 0)
{
    hash ^= (hash<<7) ^ key.charAt(i) ^ (hash>>3);
}
else
{
    hash ^= ~((hash<<11) ^ key.charAt(i) ^ (hash >>5));
}

/* v4 */
hash += (hash<<5) + key.charAt(i);

/* v5 */
hash = key.charAt(i) + (hash<<6) + (hash>>16) – hash;

/* v6 */
hash ^= ((hash<<5) + key.charAt(i) + (hash>>2));

乘法hash

这种类型的Hash函数利用了乘法的不相关性（乘法的这种性质，最有名的莫过于平方取头尾的随机数生成算法，虽然这种算法效果并不好）。比如，

static int bernstein(String key)
{
    int hash = 0;
    int i;

    for (i=0; i<key.length(); ++i)
        hash = 33*hash + key.charAt(i);

    return hash;
}

jdk5.0里面的String类的hashCode()方法也使用乘法Hash。不过，它使用的乘数是31。推荐的乘数还有：131, 1313, 13131, 131313等等。

使用这种方式的著名Hash函数还有：

// 32位FNV算法
int M_SHIFT = 0;
public int FNVHash(byte[] data)
{
    int hash = (int)2166136261L;
    for(byte b : data)
        hash = (hash * 16777619) ^ b;

    if (M_SHIFT == 0)
        return hash;

    return (hash ^ (hash >> M_SHIFT)) & M_MASK;
}

以及改进的FNV算法：

public static int FNVHash1(String data)
{
    final int p = 16777619;
    int hash = (int)2166136261L;

    for(int i=0;i<data.length();i++)
        hash = (hash ^ data.charAt(i)) * p;

    hash += hash << 13;
    hash ^= hash >> 7;
    hash += hash << 3;
    hash ^= hash >> 17;
    hash += hash << 5;

    return hash;
}

除了乘以一个固定的数，常见的还有乘以一个不断改变的数，比如：

static int RSHash(String str)
{
    int b = 378551;
    int a = 63689;
    int hash = 0;

    for(int i = 0; i < str.length(); i++)
   {
        hash = hash * a + str.charAt(i);
        a = a * b;
    }

    return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

除法hash

除法和乘法一样，同样具有表面上看起来的不相关性。不过，因为除法太慢，这种方式几乎找不到真正的应用。

查表hash

查表Hash最有名的例子莫过于CRC系列算法。虽然CRC系列算法本身并不是查表，但是，查表是它的一种最快的实现方式。

static int crctab[256] = {... ...};

int crc32(String key, int hash)
{
    int i;
    for (hash=key.length(), i=0; i<key.length(); ++i)
        hash = (hash >> 8) ^ crctab[(hash & 0xff) ^ k.charAt(i)];
    return hash;
}

查表Hash中有名的例子有：Universal Hashing和Zobrist Hashing。他们的表格都是随机生成的。

混合hash

混合Hash算法利用了以上各种方式。各种常见的Hash算法，比如MD5、Tiger都属于这个范围。它们一般很少在面向查找的Hash函数里面使用。

对哈希算法的评价

字符串的Hash。最简单可以使用基本的乘法Hash，当乘数为33时，对于英文单词有很好的散列效果（小于6个的小写形式可以保证没有冲突）。复杂一点可以使用FNV算法（及其改进形式），它对于比较长的字符串，在速度和效果上都不错。
长数组的Hash。可以使用http://burtleburtle.net/bob/c/lookup3.c这种算法，它一次运算多个字节，速度还算不错。

一个字符串哈希函数的设计及其优化

该哈希函数的设计来源一个项目，要做一个类似ispell 的软件，其中会产生大量的对单词的查找操作。

下面各个小节介绍了哈希函数的设计过程，从最初的一个很简单但效果很差的哈希函数，经过不断优化，最后得到一个很强的哈希函数

简单求和

unsigned int hash_func(char *str, int len)
{
     register unsigned int sum = 0;
     register char *p = str;

     while(p - str < len)
          sum += *(p++);

     return sum % MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN;
}

MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN 是比hash表长度小的最大的质数，比如说hash表是n的话，MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN就是不大于n的最大的质数，这个数可以通过首先建立一张质数表，然后通过查表查出来。

非常简单，但是这是绝对不可取。首先想到可能产生的冲突的是这种情况：abcd和acbd，对于这两种单词来说，如果用上面的HASH函数，就一定会发生碰撞，因为每个字符少了关于它自己的位置信息，于是第一次改进版本的HASH函数就给每个字符加上了它的位置信息

增加位置信息

unsigned int hash_func(char *str, int len)
{
     register unsigned int sum = 0;
     register char *p = str;

     while(p - str < len)
          sum += *(p++) * (p–str);

     return sum % MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN;
}

经测试比不带位置信息的哈希函数好多了，但是仍然非常的不均匀，因为是用的乘法，所以仍然太过于依赖字母产生的结果了。于是改用XOR操作

XOR 操作

unsigned int hash_func(char *str, int len)
{
     register unsigned int sum = 0;
     register char *p = str;

     while(p - str < len)
          sum += (*(p++) * (p–str)) ^ sum;

     return sum % MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN;
}

经测验，比上两个哈希函数好多了，但是结果仍然非常不好，原因还是因为数据分布得不够均匀，于是思考单独的用加法来算是不是不太好，根据其他查表类HASH算法的过程，发现其大多都用了高低位来组合成最后的结果

高低位组合

{
     register unsigned int sum = 0;
     register unsigned int h = 0;
     register char *p = str;

     while(p - s < len)
     {
          register unsigned short a = *(p++);
          sum ^=  a * (p - str);
          h ^= a / (p - str);
     }
     return ((sum << 16) | h) % MAX_PRIME_LESS_THAN_HASH_LEN;
}

不用查表的方法，而通过字符串本身的位置对字符本身进行修正的方法也能得到结果相当满意的HASH函数。

一个点评：

从一个大的集合向一个较小的集合映射，碰撞是无可避免的。实际上无论你如何改进hash算法，只要是把任意长字符串hash为一个有限范围内的整数，总能够构造出输入让你的hash表操作时空性能严重恶化。hash函数还是要根据特定的需要和输入的预期来构造。如果对输入字符串没有特别的预期，还是不要花费太多时间来改进hash算法，有可能得不偿失。

常用 hash 算法

与大质数相乘

方法：与一个大质数相乘然后取中间几位(如8位)。该方法多用在以数值为 hash的场合。

下面是 Linux 中的 hash_long 算法,该算法就采用了与大质数相乘去某些位的方法。

static inline unsigned long hash_long(unsigned long val, unsigned int bits)
{
    unsigned long hash = val;

#if BITS_PER_LONG == 64
    /*  Sigh, gcc can't optimise this alone like it does for 32 bits. */
    unsigned long n = hash;
    n <<= 18;
    hash -= n;
    n <<= 33;
    hash -= n;
    n <<= 3;
    hash += n;
    n <<= 3;
    hash -= n;
    n <<= 4;
    hash += n;
    n <<= 2;
    hash += n;
#else
    /* On some cpus multiply is faster, on others gcc will do shifts */
    hash *= GOLDEN_RATIO_PRIME;
#endif

    /* High bits are more random, so use them. */
    return hash >> (BITS_PER_LONG - bits);
}

代码中定义的GOLDEN_RATIO_PRIME 是大质数 0×9e370001，这个数字实际上是最接近2^32的黄金分割的质数，Knuth推荐使用这个数做为乘数来生成哈希数，这样可以获较好的结果。Chuck Lever随后证明了这个技术的有效性。