仿射变换

from:http://www.javaresearch.org/article/showarticle.jsp?column=545&thread=42444

jungleford如是说

 
开始做模拟时钟的bean了，看dW上Java 2D的那个例子很有意思，比JDK自带的applet要简单，因为用到了仿射变换（Affine Transformation），只用简单得多的运算就可以绘制较高质量的动画。乘SUN的JavaDoc中文化之东风，先把java.awt.geom.AffineTransform的API doc之一部分简单翻译一下，只涉及到一点几何和线性代数的小常识：
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 AffineTransform类描述了一种二维仿射变换的功能，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，相交直线的交角不变。大二学过的复变，“保形变换/保角变换”都还记得吧，数学就是王道啊！）。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）。
 
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：
 
[x']    [m00 m01 m02] [x]    [m00*x+m01*y+m02]
[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]
[1 ]   [ 0      0      1   ] [1]    [              1             ]

 
几种典型的仿射变换：
 

1. public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
[   1    0    tx  ]
[   0    1    ty  ]
[   0    0    1   ]
（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）
 

1. public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：
[   sx   0    0   ]
[   0    sy   0   ]
[   0    0    1   ]

 

1. public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切变换，变换矩阵为：
[   1   shx   0   ]
[  shy   1    0   ]
[   0     0    1   ]
相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合
[   1      0    0   ][   1   shx   0   ]
[  shy   1    0   ][   0     1     0   ]
[   0      0    1   ][   0    0     1   ]
（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。）
 

1. public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：
[   cos(theta)    -sin(theta)    0   ]
[   sin(theta)     cos(theta)    0   ]
[       0                0             1   ]

 

1. public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：
[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin]
[   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ]
[       0                 0                  1             ]
相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：
[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x]
[0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y]
[0  0  1 ][     0                0        1 ][0  0  1]