FW:理解矩阵（三）（2）

By 孟岩

回过头来说变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们找到了，就是那个向量。但是坐标系的变换呢？我怎么没看见？
请看：
       Ma = Ib
我现在要变M为I，怎么变？对了，再前面乘以个M^-1，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，现在我让它乘以个M^-1，变成I，这样一来的话，原来M坐标系中的a在I中一量，就得到b了。
我建议你此时此刻拿起纸笔，画画图，求得对这件事情的理解。比如，你画一个坐标系，x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3，在这样一个坐标系里，坐标为(1，1)的那一点，实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系:
       2 0
       0 3
的x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3，这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变，那个向量现在就变成了(2, 3)了。
怎么能够让“x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：
      2 0
      0 3
被矩阵：
       1/2   0
         0   1/3
左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
下面我们得出一个重要的结论：
“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”
再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系。
如果你觉得你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到的结论，矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。
在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说，是因为：
1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
        2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。
        3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这一步，已经很容易了。
综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，一切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。
我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系，又是变换。到底是坐标系，还是变换，已经说不清楚了，运动与实体在这里统一了，物质与意识的界限已经消失了，一切归于无法言说，无法定义了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西。到了这个时候，我们不得不承认，我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义，是无比正确的：
        “矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”
好了，这基本上就是我想说的全部了。还留下一个行列式的问题。矩阵M的行列式实际上是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点，我只能感叹于其精妙，却无法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够，我希望有人能够给我们大家讲解其中的道理了。
我不知道是否讲得足够清楚了，反正这一部分需要您花些功夫去推敲。
此外，请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言，近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有（四）的话，可能是一些站在应用层面的考虑，比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。