蒙特卡洛法(转帖)

  蒙特卡洛法（随机取样法）

前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。

然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。

例7  已知非线性整数规划为：

s.t.

 

对该题，目前尚无有效方法求出准确解。如果用显枚举法试探，共需计算 个点，其计算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算 个点，便可找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样呢？

下面就分析随机取样采集 个点计算时，应用概率理论来估计一下可信度。

不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。

假设目标函数落在高值区的概率分别为0.01，0.00001，则当计算 个点后，有任一个点能落在高值区的概率分别为

，

。

解  （ i ）首先编写M文件mente.m定义目标函数f 和约束向量函数g，程序如下：

function [f,g]=mengte(x);

f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)...

   -x(4)-2*x(5);

g(1)=sum(x)-400;

g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;

g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;

g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;

（ ii ）编写如下程序求问题的解：

rand('state',sum(clock));

p0=0;

tic

for i=1:10^5

   x=99*rand(5,1);

x1=floor(x);x2=ceil(x);

[f,g]=mengte(x1);

if sum(g<=0)==4

   if p0<=f

      x0=x1;p0=f;

   end

end

[f,g]=mengte(x2);

if sum(g<=0)==4

   if p0<=f

      x0=x2;p0=f;

   end

end

end

x0,p0

toc

 

§5  整数规划的计算机解法

整数规划问题的求解可以使用Lingo等专用软件。对于一般的整数规划规划问题，无法直接利用Matlab的函数，必须利用Matlab编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等特殊的 整数规划问题或约束矩阵 是幺模矩阵时，有时可以直接利用Matlab的函数linprog。

例8  求解下列指派问题，已知指派矩阵为

   

解：编写Matlab程序如下：

c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5

   8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];

c=c(:);

a=zeros(10,25);

for i=1:5

   a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;

   a(5+i,i:5:25)=1;

end

b=ones(10,1);

[x,y]=linprog(c,[],[],a,b,zeros(25,1),ones(25,1))

求得最优指派方案为 ，最优值为21。

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