pku1091

 

跳蚤{经典}

(jump.exe)

 

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。

比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。

当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

l 输入输出要求

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。

1≤M≤10⁸，1≤N≤M，且M^N≤10¹⁶。

l 输入输出样例

Jump.in

Jump.out

2 4

12

这12张卡片分别是：

(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4),(2, 1, 4), (2, 3, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4),(4, 1, 4), (4, 3, 4)

 

容斥原理的应用：

一串数，a[i],若每个a[i]对应一个系数，则|a[1]*b[1]+a[2]*b[2]+……+a[n]*b[n]|只能等于t*gcd(a[1],a[2],a[3],……，a[n])。

那么要想能跳到左边第一位处，自然gcd(a[i])=1，已经限制了最后一个数=m，若k=gcd(a[i])，则k只能为m的约数。把m分解质因数，设b[i]为这个记录质因数的数组。若k<>1则k为某个或多个b[i]的倍数，考虑k中是否有b[i]这个质因子，取k的时候的方案数为(m div k)^n，如果选了偶数个质因子，为加，否则为减。

O(M的约数个数)

 

program xqz;const maxn=1229;var i,j,m,n,k,l,r,b,p,e,q,h,now:longint; a:array[0..maxn] of longint; z:array[0..10000] of boolean; ans,tot:int64;function cal(a,b:longint):int64;var i:longint; now:int64;begin now:=1; for i:=1 to b do now:=now*a; cal:=now;end;procedure dfs(c:longint);begin if c=r+1 then begin if odd(now) then dec(ans,cal(m div tot,n)) else inc(ans,cal(m div tot,n)); exit; end; dfs(c+1); if tot*a[c]<=m then begin inc(now); tot:=tot*a[c]; dfs(c+1); dec(now); tot:=tot div a[c]; end;end;begin read(n,m); k:=trunc(sqrt(m)); now:=m; for i:=2 to k do if not z[i] then begin j:=i; if m mod i=0 then begin inc(r); a[r]:=i; while now mod i=0 do now:=now div i; end; while j<=k do begin z[j]:=true; inc(j,i); end; end; if now<>1 then begin inc(r); a[r]:=now; end; now:=0; tot:=1; dfs(1); writeln(ans);end.