poj 1125 floyed算法

编辑本段核心思路

　　通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。 　　从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。 　　采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3); 　　其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]} 　　map[i,j]表示i到j的最短距离 　　K是穷举i,j的断点 　　map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。 　　当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路

编辑本段算法过程

　　把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。 　　定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。 　　把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。 　　在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。 　　比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3，D(3,1)=2，D(2,1)=1则说明从V5到V1经过V3，从V3到V1经过V2，V2到V1直接相连，路径为{V5,V3,V2,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

编辑本段时间复杂度

　　O(n^3)

编辑本段优缺点分析

　　Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。 　　优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单； 　　缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX = 100; //最多100个人
int dis[MAX +10][MAX+10]; //存放最短路
int n; //人数
int loc;//标记最后求的人号

/**floyd算法
***/
void Floyd(void)
{ 
  //k表示 i->j这段路以k为中间点
   for (int k=1;k<=n;k++)
   {
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
     for (int j=1;j<=n;j++)
     {  
      //如果i->j 的当前距离要大于i通过k点到j的距离，那么重新赋值
      if ( dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
      {
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
      }
     }
    }
   }
}
void Min(void)
{
    int i,j;
 int max,min = 100000;

 //从i开始传播，看它传给每个人当中需要花的最长的那个时间是多少，这样在那个时间内，肯定所有人都知道了
 //但是如果两个人之间没联系，花的时间就是相当大，间接说明由他开始，是不能传给每个人的
 //所以在底下的判断中如果 min>=100000，就说明不能由一个人传给每一个人
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  max = 0; //从i开始的最长路
  //看他传给每个人需要最长时间的那个值
  for (j=1;j<=n;j++)
  {
   if (i!=j && dis[i][j]>max)//这个地方如果两个人之间没联系，那么dis[i][j]=1000000,那么max = 1000000
   {
               max = dis[i][j];
   }
  }
  //如果这个时间是个有效值，比较出由谁开始传给每个人的时间又最少
  if ( max < min) //最长中求短
  {
           loc = i;//记录是哪个人
     min = max;//记录最小值
  }
 }
 (min < 100000)?printf("%d %d/n",loc,min):printf("disjoint/n");
}
int main(void)
{
 int i,j,k,p,q;
 while ( scanf("%d",&n)&& n)
 {
  /*用floyd之前先要初始化*/
  for ( i=1;i<=n;i++)
  {
   for (j=1;j<=n;j++)
   {
    dis[i][j] = 100000;
   }
  }
  /*输入数据*/
  for ( i=1;i<=n;i++)
  {
   scanf("%d",&k);
   for (j=1;j<=k;j++)
   {
    scanf("%d%d",&p,&q);
    dis[i][p]=q;
   }
  }
  Floyd();
  Min();
 }
 return 0;
}