扩展欧几里得算法

poj 1061题目，青蛙的约会。一开始想暴力求解的。但是之前提交过，tle...

今天过来查一下，说是扩展欧几里得算法。我了个去。这么复杂的名字，得是有多深奥。

查了才知道原来就是辗转相除法。

欧几里德算法

  欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

  其计算原理依赖于下面的定理：

  定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  证明：

  a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数，则有

  d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

 

 

 

  假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

  d | b , d |r ，但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

 

 

 

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

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  欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

  int Gcd(int a, int b)

  {

  if(b == 0)

  return a;

  return Gcd(b, a % b);

  }

  当然你也可以写成迭代形式：

  int Gcd(int a, int b)

  {

  while(b != 0)

  {

  int r = b;

  b = a % b;

  a = r;

  }

  return a;

  }

  本质上都是用的上面那个原理。

 

　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数

 

论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)

　　{

    　　if(b == 0)

    　　{

        　　x = 1;

        　　y = 0;

       　　 return a;

    　　}

    　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);

    　　int t = x;

    　　x = y;

    　　y = t - a / b * y;

　　    return r;

　　}

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

 

 

求a * x + b * y = n的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd

 

(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' 

 

* y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

        x = n' * x0 + b' * t

y = n' * y0 - a' * t

(t为整数)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。