重新总结下带上下汇的网络流的解法

具体的解法参照的是北大课件的，只是总结一下，复习一下

 

 

有流量上下界的网络最大流

 

如果流网络中每条边e对应两个数字B(e)和C(e),分别表示该边上的流量至少要是B(e)，最多C(e),

那么，在这样的流网络上求最大流，就是有上下界的最大流问题。

这种网络不一定存在可行流

 

—思路：将下界“分离”出去，使问题转换为下界为０的普通网络流问题。

 将原弧(u,v)分离出一条必要弧：

 由于必要弧的有一定要满流的限制，将必要弧“拉”出来集中考虑：

添加附加点x,y。想像一条不限上界的(x, y)，用必要弧将它们“串”起来，

即对于有向必要弧(u, v)，添加(u, x)，(y, v)，容量为必要弧容量。

这样就建立了一个等价的网络。

去掉边（x,y)，添加由t到s的容量为正无穷大的边，使y和x分别成为新的源和新的汇。

 

若此图上的最大流能够占满与Y相连的所有边的容量（自然也就会占满所有连到x的边的容量），

那么原图上就存在满足上下界条件的可行流 

对原图上的满足上下界条件的可行流进行增广，直到找到最大流。

增广的过程中，对于必要弧不能退流（添加反向边）。