Catalan数

Catalan数

1.递推公式: f(n)=    f(0)=1,f(1)=1;

2.组合公式1：f(n)=  

3组合公式2：f(n)= -  

应用举例：

1．  二叉树有n个结点，问：该二叉树能组成多少种不同的形态

2．  有n个A和n个B排成一排，从第一个位置开始到任何位置，B的个数不能超过A的个数，问有多少种排列方式。

 n=1时：AB                                                            1

 n=2时：ABAB  AABB                                                  2

 n=3时：AAABBBB  AABABB  AABBAB  ABAABB  ABABAB            5

3.乘法加括号。对于连乘：a1*a2*……*an,加了括号后可以改变它的运算顺序。问：有多少种不同的运算顺序？

将a1*a2*……*an,当做一颗二叉树来处理，将*逐个作为根，得：

f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+…+f(i)*f(n-i-1)+….f(n-1)*f(0)

可以用组合公式2求解。

4.欧拉多边形分割问题

设有一个凸n边形，可用n-3条不相交的对角线将n边形分成n-2个互相没有重叠的三角形。

问:当给出凸n边形的边数n（n<=1000），共有多少种不同的分法。（需要用高精计算）

  分析：按照某种顺序给凸边形的各个顶点编号为V1，V2 …… Vn。边V1Vn在最终的剖分中一定恰好属于某一个三角形V1VnVk，所以可以根据k进行分类。不难看出，三角形的左边是一个k边形，右边是一个n-k+1边形。根据乘法原理，包含三角形V1VnVk的方案数为：ff(k)*ff(n-k+1)；

ff(n)=ff(2)*ff(n-1) + ff(3)*ff(n-2)+…+ff(n-1)*ff(2)

ff(3)=ff(2)=1   ff(4)=2   ff(5)=5

Catalan数 :f(n) =   f(0)=1  f(1)=1;   f(2)=2   ;f(3)=5;

凸边形的ff(3)对应Catalan数的f(1) . ff(n)=f(n-2);