“三数取中“划分

来源：互联网发布：传奇霸业勋章升级数据编辑：程序博客网时间：2024/04/29 22:50

7-3 “三数取中“划分

有一种改进RANDOM-QUICKSORT的方法，就是根据从子数组更仔细地选择的（而不是随机选择的）元素作为主元来划分。常用的做法是三数取中：从子数组中随机选出三个元素，取其中间数作为主元。针对这个问题，假设数组A[1...n]中的元素都不相同，并且有n≥3，用A'[1...n]表示已排好序的数组。用“三数取中"方法来选择主元元素x，并定义pi=Pr{x=A'[i]}。

a）对于i=2,3,...,n-1，给出pi的以n和i表示的准确表达式。（注意p1=pn=0)。

b）与一般实现比较，这种实现方法中取A[1...n]的中值x=A'⌊(n+1)/2⌋的可能性增加多少？假设n->∞,请给出这两个概率比值的极限。

c）如果定义一个”好“的划分是选择了x=A'[i]，其中n/3≤i≤2n/3，则与一般实现相比，这时得到一个好的划分的可能性增加了多少（提示：用积分来近似和式）

d）论证相对快速排序而言，”三数区中“方法仅影响其运行时间 Ω(n lg n) 中的常数因数。

分析与思考：

a）pi表示主元为i，对应的意义是:三个数中有一个数为i，然后其他两个数中有一个数大于i，另外一个数小于i，则相应的概率为：

$p_i=/binom{3}{1}/binom{2}{1}/frac{1}{n}/frac{i-1}{n}/frac{n-i}{n} = /frac{6(i-1)(n-i)}{n^3}$

b）将i = ⌊(n+1)/2⌋代入到pi中，得到

$p_{/frac{n+1}{2}}=/frac{6}{n}/frac{/frac{n+1}{2}-1}{n}/frac{n-/frac{n+1}{2}}{n} = /frac{3((n-1)^2}{2n^3}$

一般的方法取得中值的可能性为1/n

$/lim_{n/to/infty}/frac{p_{/frac{n+1}{2}}-/frac{1}{n}}{/frac{1}{n}}=/lim_{n/to/infty}/frac{/frac{3(n-1)^2}{2n^3}-/frac{1}{n}}{/frac{1}{n}}=/frac{1}{2}$

c）一般的方法中取得好的划分的概率为1/3，这种方法为

$p=/sum_{n/3}^{2n/3}p_i=/sum_{n/3}^{2n/3}/frac{6(i-1)(n-i)}{n^3}/approx/int_{n/3}^{2n/3}/frac{6(i-1)(n-i)}{n^3}di=/frac{13}{27}(n/to/infty)$

因此取得好的划分的概率增加了4/9

d) 先求出期望的位置

$E=/sum_{1}^{n}p_ii=/sum_{1}^{n}/frac{6(i-1)(n-i)}{n^3}i/approx/int_{1}^{n}/frac{6(i-1)(n-i)}{n^3}idi/approx/frac{n}{2}$

也就是ET = E(T/2)+n

根据主定率，期望的运行时间ET = Ω(n lg n) ，因此和一般的方法只差常数因子