3372 Candy Distribution

知道要证明什么情况下(x)=(x*(x-1))/2 mod N为N的完全剩余系（从0开始标号），但是YY了一节课都没有太好的思路，回来看了大牛的证明，自己又研究了一会，终于懂了

 

首先,我们可以发现，f(x)的周期为N或者2*N,但当周期是2*N时，前N个数和后N个数是对称的，可以参考

http://hi.baidu.com/findthegateopen/blog/item/03e5802e19f1ea301e3089f9.html

 

于是，为了证明什么情况下f(x)%N为N的完全剩余系，我们可以假设0<=i<j<N，且f(i)==f(j)，即假设f(x)%N不是N的完全剩余系

可得i*(i-1)/2=j*(j-1)/2 mod N,整理下可得(j-i)*(i+j-1)/2=0 mod N

 

可以发现，j-i与i+j-1的奇偶性相反

讨论：如果j-i为偶数

（1）如果(j-i)/2为偶数，由于此时i+j-1为奇数，则N=S*2^k(S为正奇数，k>0)

S为i+j-1的因子，2^k为(j-i)/2的因子，但是当S=1时，N=2^k,且必为(j-i)/2的因子，因为它不可能是i+j-1(奇数)的因子，那么j-i=2*N或j-i=0，由于0<=i<j<N，显然不可能，则S其实应该为大于1的奇数

 

(2)如果(j-i)/2为奇数，由于此时i+j-1也为奇数，则N=P*Q(P,Q为正奇数),可以认为P为(j-i)/2的因子，Q为i+j-1的因子

 

综述，当N=S*2^k(S>1且S为奇数，k>0),或者N=P*Q(P,Q为正奇数)时，f(x)%N不能构成N的完全剩余系

 

以上两种情况包含了出N=2^k(k>0)以为的所有情况，所以只有当N=2^k(k>0)时，f(x)%N为N的完全剩余系

 

总结：

一开始就明确了证明的目标，但是却没想到通过反证法去和定义找矛盾来证明，自己的思维能力还是很差

回顾整个证明过程，其中有很多巧妙的地方，如果没有一定积累，很难会想到，例如N的表示方法和j-i与i+j-1的奇偶性相反

其实所有偶数可以表示为N=S*2^k(S为奇数，k>0)的形式，所有奇数可以表示为N=P*Q（P,Q为奇数)的方式

 

另外，二进制下判断一个数是否为2的方幂,可以用X&(X-1)来判断，如果结果为0，说明是，否则，说明不是