POJ 2728 最优比例生成树

题意：给定三维的点，求这样一棵树，使得高度差的和与水平距离的和的比值最小

这题是很显然的最优比例生成树，不能用贪心求出cost/len，再建MST。

详细做法见http://hi.baidu.com/zzningxp/blog/item/b2d1b4ec1f8bbc2262d09fc9.html 

代码：第一次写，绝大多数参考http://www.cppblog.com/Yuan/archive/2010/04/15/112720.aspx

//最优比例生成树//利用zeta函数 z(l)=h-l*r //迭代算法 迭代正确性这里不证明//分析见文章#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>const int MAX = 1010;const double INF = 0xfffffff;const double eps = 1e-4;int N;//prim算法所需double dist[MAX]; //PRIM过程中存最小值int pre[MAX]; //前一个结点bool vis[MAX];//判断是否是加入过的结点//结点struct Node{int x,y,z;}node[MAX];double cal_distance(int a,int b){return sqrt(1.*(node[a].x-node[b].x)*(node[a].x-node[b].x)+1.*(node[a].y-node[b].y)*(node[a].y-node[b].y));}double prim(double r){//非邻接矩阵memset(vis,false,sizeof(vis));int i;//第一个结点加入for(i=2;i<=N;i++){dist[i] = abs(node[1].z-node[i].z) - cal_distance(1,i)*r;pre[i]=1;}dist[1]=0;vis[1]=true;double cost,len;cost=len=0.0;//继续加入N－1个点for(i=1;i<=N-1;i++){//找dist里面的最小点 k记录下标double min=INF;int k=-1;for(int j=2;j<=N;j++){if(!vis[j] && dist[j]<min){min=dist[j];k=j;}}vis[k]=true;cost += abs(node[pre[k]].z-node[k].z); len += cal_distance(pre[k],k);//更新最小for(int j=2;j<=N;j++)//显然结点1不用更新{//更新distdouble val=abs(node[k].z-node[j].z)-cal_distance(k,j)*r; if(!vis[j] && dist[j]>val){ dist[j]=val; pre[j]=k; }}}return cost/len;}int main(){while(scanf("%d",&N)!=EOF && N){for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d%d",&node[i].x,&node[i].y,&node[i].z);double a=0.0,b;//a＝0作为初始的r//迭代 直至符合要求while(1){b=prim(a); if(fabs(b-a)<eps)break; a=b;}printf("%.3f/n",b);}return 0;}

 

最优比例树总结（转载）

每条边有两个权值，一个费用h一个长度l,求连通整个图的最小r r=总费用/总长度

r=(h1*x1+h2*x2*.....hn*xm)/(l1*x1+l2*x2+...ln*xm) 最小，其中x取0,1表示边不在或在树中

直接列出两种解法：

(1)二分比率r 将原图边权值修改为h-r*l ,求最小生成树，如果大于0,则可放大r,否则缩小r ,

(2) 01分数规划 Dinkelbach 算法，首先任选可以构造一棵树的n-1条边，numerator表示费用总和，denominator表示长度总和，r*表示最后最优解，再构造一个当前的最优解r=numerator/denominator ,把r作为比例同样将原图边权修改为h-r*l ,作一次MST，结束时可得到另一个最优解r' ,r'会无穷地向最优解r*收敛，根据题目定义当fabs(r*-r')<1e-6 则break ;最后r*=r' ，时间复杂度为O(MST)*min(n^2,log(n*m))，这个算法是可行的，中间N多证明过程略...

（转载自：http://www.cnblogs.com/north_dragon/archive/2010/06/11/1756594.html）