最长递增（减）子序列

最长递增子序列（LIS）DP 中的入门吧，算是。

1，复杂度O（N^2）的算法

     设DP【i】中保存的是1~i 中最长递增子序列的长度，则DP【i】=max(dp【j】)+1,并且arrary[i]>arrary[j]。最后在DP【】中找一个最大的值。

代码实现：

 int Longest_Increasing(int arrary[],int n){int dp[n],i,j;for(i=0;i<n;i++){dp[i]=1;for(j=0;j<i;j++){if((dp[j]+1>dp[i])&&(arrary[i]>arrary[j]))dp[i]=dp[j]+1;}}int max=0;for(i=0;i<n;i++)if(dp[i]>max)max=dp[i];return max;}

2，复杂度O(N * log N)的算法

     O(N * log N)的算法关键在于建立了一个辅助数组f【】，f【i】表示长度为 i 的递增子序列中结尾元素的最小值，用K来表示数组当前的长度，算法结束后K的值即为最长递增子序列的长度。

具体来说：

设当前已经求出的长度为K，判断arrary[i]和f[K]:

(1),如果arrary[i]>f[K],即arrary[i]大于长度为K的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加 1 ，即K=K+1，然后现在的f[K]=arrary[i];

(2),如果arrary[i]<f[K],那么就在f[1]....f[K]中找到最大的 j ，使得f[j]<arrary[i],所以arrary[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，所以f[j+1]=arrary[i];

 复杂度的分析：

因为有n个元素要进行计算，又每次都要查找n次，所以复杂度是n*n，但是，注意到，f[]数组里的元素的单调递增的性质，可以用二分法查找，所以就变成了log n .

代码实现：

int K,l=1,r;void BinarySearch(int i){int m;while(l<=r){m=(l+r)/2;if(f[m]==arrary[i]){l=m;return;}else if(f[m]>arrary[i])l=m+1;elser=m-1;}}int Longest_Increasing(int arrary[],int n){ int f[n],i,j;f[1]=arrary[0];K=1;for(i=1;i<n;i++){l=1;r=K;BinarySearch(i);if(l<=K)f[l]=arrary[i];else{K++;f[K]=arrary[i];}}}