平均排序

8-5 平均排序

   假设我们不是要排序一个数组，而只是要求数组中的元素一般情况下都是层递增序的。更准确地说，称一个包含n个元素的数组A为k排序的(k-sorted)，如果对所有i=1,2, ..., n-k，有下式成立：

                          

    a）给出一个数组是1排序的是什么意思？

    b）给出数字1,2, ..., 10的一个排列，它是2排序的，但不是完全排序的。

    c）证明：一个n元素的数组是k排序的，当且仅当对所有i=1,2, .... n-k 有 A[i] ≤ A[i+k]。

    d）给出一个算法，它能在O(nlg(n/k))时间内，对一个n元素的数组进行k排序。

    e）说明一个长度为n的k排序的数组可以在O(nlgk）内排序。

    f）说明当k是一个常量时，需要Θ(nlgn)时间来k排序一个n元素的数组。（提示：可以利用前一部分的结果及比较排序的下界）

 

   分析与解答：

   a）数组1排序时就和我们平常的排序一样了。

 

   b）2排序但不是全排序的例子：

        1  6  2  7  3  8  4  9  5  10

 

   c) 该推论非常容易得到，证明如下：

                         

 

                                                

 

   d）根据c）得到的结果，一个n元素的数组是k排序，当且仅当A[i] ≤ A[i+k]。也就是说，等价于

                         A[0] ≤ A[k] ≤ A[2k] ≤ A[3k] ....

                         A[1] ≤ A[k+1] ≤ A[2k+1] ≤ A[3k+1] ...

                         ..........

        根据上述观察，我们可以分成k个独立的分组，每个分组的大小为n/k进行排序即可。

        每个大小为n/k的分组进行排序的时间复杂度为O(n/k*lg(n/k))，那么k个分组总的时间复杂度为

                         k*O(n/k*lg(n/k)) =  O(nlg(n/k))

 

   e) 使用k个元素的最小堆，进行k路归并，每次提取最小值和增加一个新元素的时间复杂为O(lgk),总共需要n次提取最小值和增加新元素的操    作，   则对应的时间复杂度为O(nlgk)。

 

   f）因为可以采用O(nlg(n/k)时间内对一个n元素的数组进行k排序，则时间复杂度为O(nlg(n))

       以下用决策树得到k排序的下界：

       一个n元素的数组最后生成的可能k排序的数目为

                         

      那么，决策树的高度h满足

                         

     即时间复杂度为Ω(nlg(n))

     结合上面的结果以及基于比较的k排序的下界可知，当k是一个常量时，需要Θ(nlgn)时间来k排序一个n元素的数组。