主元素，中位数以及快速排序问题（分治法问题）

IBM最后有道求主元素的题目，一个数组有N个元素，其中有超过N/2的元素相同，请找出这个元素。时间复杂度为O(n)方法1：如果一个元素的个数超过N/2则这个元素必然是这N个元素的中位数。则这个题目是找中位数。方法是通过快速排序变化的来的算法。代码如下：#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>template<typename T>void swap(T & a,T& b){T c = a;a = b;b = c;}/*partitions the array around the pivot. elements in the the left part are all less than or equal to pivot while those in the right part are all greater than or equal to pivot.in this version of partition function, it can gurantee that the returned index is the index of pivot in the array.so if we want to use this version we should care about the returned index value and modify the qsort function to adapt it.@return the index of the most left element that is less than or equal to pivot.*/template<typename T>int partition(T * array,int l,int r){if(l>=r)return l;int i = l;int j = r;int m = (l+r)/2;T pivot = array[m];while(i < j){while(i<j && array[i]<pivot){i++;}while(i<j && array[j]>pivot){--j;}if(i<j){swap(array[i],array[j]);++i;--j;}}if(i == j && array[j]>pivot){--j;}return j;}template<typename T>void qsort(T * array,int l,int r){if(l>=r)return;int p = partition(array,l,r);qsort(array,l,p);qsort(array,p+1,r);}/*find the kthSmallestElement in the arrayin this function both version of partition function is okfirst step: partitions the array into two parts.second step: count the number of elements in the left partthird step: if the number of elements is less than k, it means the kthSmallestElement is in the right part of the array.    if the number of elements is greater than or equal to k, it means the kthSmallestElement is in the left part.*/template<typename T>T kmedian(T * array,int l, int r, int k){if(l>=r)return array[l];int p = partition(array,l,r);int i = p-l+1;//count of elements in the left part.if(i<k)return kmedian(array,p+1,r,k-i);return kmedian(array,l,p,k);}template<typename T>T majorElement(T * array,int n){T ret = kmedian(array,0,n-1,n/2);return ret;}int main(){int b[]={2,1,1,23,3,1,1,2};printf("%d",majorElement(b,8));printf("/n");return 0;}做这个题目复习了下快排，选择一个pivot，然后围绕这个pivot将数组分成两部分，左边一部分的元素都小于pivot，右边部分的元素都大于pivot，然后递归的处理左右两个部分，直到数组元素个数为1.找第k小元素的方法是基于快排的分割函数，将一个数组分割成两部分。如果小于pivot的元素个数A小于k，则在分割后的数组的右边找第k-A小的元素，否则在左边部分找。对于中位数就是第n/2小的数。根据算法导论的说明，快排的平均算法复杂度为O(nlogn)，而找第k小元素的平均算法复杂度为O（n）。找k小的算法和快排的不同在于快排需要递归处理左边和右边两个部分，即复杂度方程为：        O(1)       n = 1 T(n)={        2T(n/2)   n> 1而对于求第k小数，只需要递归处理一个分支，所以复杂度方程为：        O(1)       n = 1T(n)={        T(n/2)     n> 1虽然只比快排少了个系数2，但是可以推导出来求第k小数的复杂度为O(n),而快排为O（nlogn）方法2：求众数的方法：对于找主元素的题目，还有其他的做法，可以使用求众数的方法，首先选择一个pivot，然后将数组分割成两部分，左边的小于pivot，右边的大于pivot在分割过程中统计数组中等于pivot的元素个数，小于pivot的元素个数以及大于pivot的元素个数。如果pivot的元素个数大于等于n/2，则pivot就是所求元素。如果小于pivot的元素个数大于等于n/2，则在左边部分找，否在在右边部分找。代码为：template<typename T>T mode(T * array,int l,int r,int n){        if(l>=r)return array[l];        int i = l;        int j = r;        int m = (l+r)/2;        int c = 0;        T pivot = array[m];        while(i < j){                while(i<j && array[i]<pivot){                        i++;                }                while(i<j && array[j]>pivot){                        --j;                }                if(i<j){                        if(array[i]==pivot)++c;                        if(array[j]==pivot)++c;                        swap(array[i],array[j]);                        ++i;                        --j;                            }        }        if(i == j && array[j] == pivot)++c;        if(i == j && array[j]>pivot)        {                --j;        }        if(c >= n/2)return pivot;        if(j-l+1>=n/2)return mode(array,l,j,n);        return mode(array,j+1,r,n);}在统计pivot出现次数时需要注意是在交换i，j对应元素时判断的。因为只有当array[i]>=x并且array[j]<=x才需要交换元素。同时当退出While（i<j）时，需要判断i==j&&Array[j]==pivot的情况，因为i==j的情况在while中是没有处理的，所以必须在while外处理。当统计得到pivot的出现次数后可以进行递归。如pivot出现的次数大于等于n/2，则返回pivot，否在向元素个数大的那部分数组递归。

方法3：主元素查找：

关于这种主元素还有种更加巧妙地方法，没看到过一定想不到的。这种方法的原理是如果一个数组中存在一个主元素（个数大于n/2），则同时删除两个不相等的值，这个主元素不会改变。
简单的说就一个大小为n数组中存在一个元素的个数大于n/2，则如果用这个数组中其他元素和该主元素进行抵消的话，最后剩下的一定是主元素，因为主元素个数最多。
该方法可以在O(n)的时间内找到主元素，十分高效。
代码：
template<typename T>T mainElement(T * array, int n){ T seed = array[0]; int count = 1; for(int i = 1;i<n;++i) { if(seed == array[i]) { count++; } else{ if(count > 0)count--; else{ seed= array[i]; } } } count=0; for(int i = 0; i < n;++i) { if(array[i]==seed)++count; } if(count >=n/2)return seed; return -1;}

关键的算法在找seed过程中，假设第一个元素是主元素，遍历数组，如果遇到和seed相同的元素则加1，不同则减1，如果count==0了，则seed改变。
该方法的基础就是如果存在一个值是主元素，那么遍历一遍则出现的次数一定要大于其他所有元素的次数，所以最后主元素的count一定大于0.