二分图最大匹配 - 匈牙利算法

问题描述：

 X集合(编号1~m)，Y集合(编号m+1~n)。n,m<100. 给出若干组合(x, y)(相当于映射x->y)，问最都能同时有几个组合(分配)。

 

分析：

题目可能简化描述得不太好，这显然是一个二分图最大匹配的问题。(二分图)

可以用匈牙利算法，或者网络流来求解。这里介绍匈牙利算法。

匈牙利算法的核心就是找增广路。不断找增广路，然后更新现有匹配M(M可以看成是X->Y的一个特殊的映射关系)，每次更新，都能使匹配数增加一。当找不到增广路时，M就是最大的匹配。

 

算法具体流程：

 

①记X上点为u，Y上点为v。记f[v] 为u->v的映射对应的u，即v的对应点，f[v]=u。（初始清零）记vis[u]为本次寻找增广路，点u是否访问过。

dfs(u)表示当前从点u出发有没有增广路，若有返回1，否则为0.

②遍历X集合，(u=1~m)，每次遍历vis[]清零，dfs(u)，若有找到增广路(即dfs(u)=1)，则匹配数加1。最后的匹配数即为最大。

③dfs中， 从u出发找v(邻接表存图)，

I.若v本次未访问过(!!)，即vis[v]=0。

1）若v为未盖点，即f[v]=0(尚无对应点)，(说明增广路找到了，是以v为结尾的)。

2）若dfs(f[v])=1，即f[v]≠0，v是盖点，f[v]是v在当前匹配M中对应的u' (联系增广路的定义，虚实交错)。则dfs(u')=1，同样说明增广路找到。v在这条增广路中。

所以以上两个条件是并列的，或( || )关系。

于是对M和这条增广路进行取反。令f[v]=u，(更新了M)，return 1;(找到，回溯).

3）没找到，遍历u的下一个邻接点v。

II.若vis!=0; 不处理。

 

其实这个算法我还是有些地方不是很明白。

代码：

 #include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>using namespace std;inline int Rint() {int x; scanf("%d", &x); return x;}#define MAXN 110vector<int> G[MAXN];int vis[MAXN];int flag[MAXN];//0-未盖/ 对应点-已盖int n, m;int dfs(int u){for(int i=0; i<(int)G[u].size(); i++){int v = G[u][i];if(!vis[v])//未访问{vis[v] = 1;if(!flag[v] || dfs(flag[v]))//!!不是dfs(v) -> dfs(flag[v]) 对应点{flag[v] = u;return 1;}}}return 0;}int hungary(){memset(flag, 0, sizeof(flag));int ans=0;//for(int i=1; i<=n; i++)//n??每个点for(int i=1; i<=m; i++)//集合X中点 1~m{memset(vis, 0, sizeof(vis));if(dfs(i)) ans++;}return ans;}void read_graph(){while(1){int u = Rint(), v = Rint();if(u == -1) break;G[u].push_back(v);//找的过程中，永远是从X集合出发的。u、flag[v]映射回u'...//G[v].push_back(u);}}void print_ans()//输出匹配M{for(int i=m+1; i<=n; i++)//flag[v]=u...v=m+1~nif(flag[i])//v为盖点，输出对应的匹配边{printf("%d->%d/n", flag[i], i);}}int main(){m = Rint();n = Rint();read_graph();printf("%d/n", hungary());print_ans();}