编程之美2.14扩展问题1 求子数组和的最大值（首尾可以相连）

整体思路：

问题的解可以分为两种情况：
1)解没有跨过A[n-1]到A[0]，即普通的求子数组和的最大值
2)解跨过A[n-1]到A[0]
对第二种情况，只要找到从A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)以及A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)，那么第2种情况中，和的最大值M_2为：
M_2=A[i]+...A[n-1]+A[0]+...+A[j]
如果i<=j，则
M_2=A[0]+...+A[n-1] - 子数组和为负的最小值（数组元素全为正则返回0）
否则
M_2=A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]

 

代码如下，其中也分了A[0]+...+A[n-1]全为负的时候返回0(代码中define RETURN_ZERP)跟返回最大的负数(RETURN_MAXMINUS)这两种情况，lpos对应于整体思路中的i，rpos对应于整体思路中的j

/*******************************问题描述****************************一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1],...A(n-1)(首尾可以相邻),它包含很多子数组，求子数组之和的最大值，当数组元素全部为负的时候，有两种处理办法，第一种是返回0，第二种是返回数组中最大的负数*******************************************************************//*******************************整体思路***************************问题的解可以分为两种情况：1)解没有跨过A[n-1]到A[0]，即普通的求子数组和的最大值2)解跨过A[n-1]到A[0]对第二种情况，只要找到从A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)以及A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)，那么第2种情况中，和的最大值M_2为：M_2=A[i]+...A[n-1]+A[0]+...+A[j]如果i<=j，则M_2=A[0]+...+A[n-1]-子数组和为负的最小值否则M_2=A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]*******************************************************************/#include<iostream>using namespace std;#define RETURN_MAXMINUS#ifdef RETURN_MAXMINUS/*********************************动态规划**************************************假设A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段为A[i],...,A[j]，则有以下3种情况，1)当0=i=j的时候，元素A[0]本身构成和最大的一段2)当0=i<j的时候，和最大的一段以A[0]开头3)当0<i时候，元素A[0]跟和最大的一段没有关系则原始问题A[0],A[1],...A(n-1)的解All[0]=max{A[0],A[0]+Start[1],ALL[1]}求得A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况后再考虑整体思路中的第二种情况*********************************************************************************///从尾到首动态规划int MaxSum(int *A,int length){//先求出A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况下子数组和最大值nAllint nStart=A[length-1];int nAll=A[length-1];for(int i=length-2;i>=0;i--){nStart=max(A[i],A[i]+nStart);nAll=max(nStart,nAll);}//下面处理整体思路的第二种情况，即跨过A[n-1],A[0]//先求A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)int sum=0;int ltempmax=-10000000;int lpos=length;for(int i=length-1;i>=0;i--){sum+=A[i];if(sum>ltempmax){ltempmax=sum;lpos=i;}}//求A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)sum=0;int rtempmax=-10000000;int rpos=-1;for(int i=0;i<length;i++){sum+=A[i];if(sum>rtempmax){rtempmax=sum;rpos=i;}}//如果lpos<=rpos，则循环数组中可能出现的子数组最大值要么是A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll//要么是整个数组A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值if(lpos<=rpos){//求数组中和为负数且的最小值int minStart=0;int minAll=0;for(int i=0;i<length;i++){minStart=min(0,A[i]+minStart);minAll=min(minStart,minAll);}int tempmax=ltempmax+rtempmax;for(int i=lpos;i<=rpos;i++){tempmax-=A[i];}//比较A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll跟A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值return max(nAll,tempmax-minAll);}else{//比较A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]即ltempmax+rtempmax的值跟A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAllreturn max(nAll,ltempmax+rtempmax);}}#endif//#define RETURN_ZERO#ifdef RETURN_ZERO/*********************************动态规划**************************************假设A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段为A[i],...,A[j]，则有以下3种情况，1)当0=i=j的时候，元素A[0]本身构成和最大的一段2)当0=i<j的时候，和最大的一段以A[0]开头3)当0<i时候，元素A[0]跟和最大的一段没有关系则原始问题A[0],A[1],...A(n-1)的解All[0]=max{A[0],A[0]+Start[1],ALL[1]}求得A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况后再考虑整体思路中的第二种情况*********************************************************************************///从尾到首动态规划int MaxSum(int *A,int length){//先求出A[0],A[1],...A[n-1](首尾不连接)的情况下子数组和最大值nAllint nStart=0;int nAll=0;for(int i=length-1;i>=0;i--){nStart=max(0,A[i]+nStart);nAll=max(nStart,nAll);}//下面处理整体思路的第二种情况，即跨过A[n-1],A[0]//先求A[n-1]结尾的和最大的一段(A[i],...,A[n-1])(0<=i<n)int sum=0;int ltempmax=-10000000;int lpos=length;for(int i=length-1;i>=0;i--){sum+=A[i];if(sum>ltempmax){ltempmax=sum;lpos=i;}}//求A[0]开始和最大的一段(A[0],...,A[j])(0<=j<n)sum=0;int rtempmax=-10000000;int rpos=-1;for(int i=0;i<length;i++){sum+=A[i];if(sum>rtempmax){rtempmax=sum;rpos=i;}}//如果lpos<=rpos，则循环数组中可能出现的子数组最大值要么是A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll//要么是整个数组A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值if(lpos<=rpos){//求数组中和为负数且的最小值int minStart=0;int minAll=0;for(int i=0;i<length;i++){minStart=min(0,A[i]+minStart);minAll=min(minStart,minAll);}int tempmax=ltempmax+rtempmax;for(int i=lpos;i<=rpos;i++){tempmax-=A[i];}//比较A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAll跟A[0]...A[n-1]的和再减去A[0]...A[n-1]中子数组和为负数的最小值return max(nAll,tempmax-minAll);}else{//比较A[0]+...+A[j]+A[i]+...+A[n-1]即ltempmax+rtempmax的值跟A[0]...A[n-1]子数组和的最大值nAllreturn max(nAll,ltempmax+rtempmax);}}#endif#define MAINint main(){int a[6]={1,-2,3,5,-3,2};int b[6]={1,-2,3,5,-1,2};int c[6]={2,-1,3,5,-2,1};int d[6]={-9,-2,-3,-5,-3};int e[3]={3,-2,3};#ifdef RETURN_MAXMINUScout<<"a 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回8) "<<MaxSum(a,6)<<endl;cout<<"b 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(b,6)<<endl;cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(c,6)<<endl;cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回-2) "<<MaxSum(d,5)<<endl;cout<<"e 的子数组和的最大值(正确结果应该返回6) "<<MaxSum(e,3)<<endl;#endif#ifdef RETURN_ZEROcout<<"a 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回8) "<<MaxSum(a,6)<<endl;cout<<"b 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(b,6)<<endl;cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回10) "<<MaxSum(c,6)<<endl;cout<<"c 的子数组和的最大值是(正确结果应该返回0) "<<MaxSum(d,5)<<endl;cout<<"e 的子数组和的最大值(正确结果应该返回6) "<<MaxSum(e,3)<<endl;#endifsystem("PAUSE");return 0;}#ifdef MAIN#endif