求最大公约数

求两个数的最大公约数，你有几种方法？

 

 

辗转相除法：

原理：设f(x,y)表示x,y的最大公约数，取k=x/y，b=x%y，那么x=ky+b。由此可得，如果一个数可以整除x和y，那么也可以整除y和b，即f(y,b)=f(x,y)。即f(x,y)=f(y,x%y)。

优点：高效

缺点：取模运算，开销大

BigInt gcd3(BigInt x,BigInt y){if(x<y)return gcd3(y,x);if(y == 0)return x;elsereturn gcd3(x%y,y);} 

 

辗转相减法：

原理：设f(x,y)表示x,y的最大公约数k，则可设x=mk，y=nk，则有x-y=(m-n)k，因为m和n都是正整数，则有x-y也可以被k整除，即f(x,y)=f(y,x-y)。

优点：开销小

缺点：迭代算法多，比如(1000000,1)的情况下。

BigInt gcd2(BigInt x,BigInt y){if(x<y)return gcd2(y,x);if(y == 0)return x;elsereturn gcd2(x-y,y);} 

 

取2求素法：

原理：1、f(x,y)=k*f(x1,y1)；2、如果x=p*x1，假设p是素数，并且y%p!=0，那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y)。

由此可得到算法为：不断的对x和y做除2操作，直至两者均不能被2整除，采用辗转相减法，获得一个可被2整除的数，继续做除2操作，循环，直至两数之一为0。详细描述如下：

若x，y均为偶数，f(x,y) = 2*f(x/2,y/2) = 2*f(x>>1,y>>1)

若x为偶数，y为奇数，f(x,y) = f(x/2,y) = f(x>>1,y)

若x为奇数，y为偶数，f(x,y) = f(x,y/2) = f(x,y>>1)

若x，y均为奇数，f(x,y) =f(y,x-y)

bool IsEven(BigInt n){if( n/2 == 0)return true;elsereturn false;}BigInt gcd(BigInt x, BigInt y){ if(x < y) return gcd(y, x); if(y == 0) return x; else { if(IsEven(x)) { if(IsEven(y)) return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1); else return gcd(x >> 1, y); } else { if(IsEven(y)) return gcd(x, y >> 1); else return gcd(y, x - y); } }}