【POJ1179】Polygon （动态规划 DP）

多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

游戏第1步，将一条边删除。

随后n-1步按以下方式操作：

(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；

(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。

最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。

问题:对于给定的多边形，计算最高得分。分析：

•        在所给多边形中，从顶点i(1≤i≤n)开始，长度为j(链中有j个顶点)的顺时针链p(i，j) 可表示为v[i]，op[i+1]，…，v[i+j-1]。

•        如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生(1≤s≤j-1)，则可在op[i+s]处将链分割为2个子链p(i，s)和p(i+s，j-s)。

•        设m1是对子链p(i，s)的任意一种合并方式得到的值，而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p(i+s，j-s)的任意一种合并方式得到的值，而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有a≤m1≤b，c≤m2≤d

(1)当op[i+s]='+'时，显然有a+c≤m≤b+d

(2)当op[i+s]='*'时，有min{ac，ad，bc，bd}≤m≤max{ac，ad，bc，bd}

换句话说，主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。

/*http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1179枚举 + 分段DP枚举所有边来删除，然后从删除的边右侧的起始点开始分段DP,对于乘法由于可能负负得正，因此需要考虑所有min和max的组合情况(1)对于加法max[i][j] = max(max[i][j], max[i][k] + max[k+1][j]), i <= k < jmin[i][j] = min(min[i][j], min[i][k] + min[k+1][j]), i <= k < j(2)对于乘法max[i][j] = max(max[i][j], min[i][k] * min[k + 1][j], min[i][k] * max[k + 1][j],max[i][k] * min[k + 1][j], max[i][k] * max[k + 1][j]), i <= k < jmin[i][j] = min(min[i][j], min[i][k] * min[k + 1][j], min[i][k] * max[k + 1][j],max[i][k] * min[k + 1][j], max[i][k] * max[k + 1][j]), i <= k < j另外每次DP在分段时由于起始位置不一定0，所以要注意边界转换问题*/#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define maxlen 51#define maxnum 999999999#define minnum -999999999int operand[maxlen];//操作数char operat[maxlen];//操作符//resmax[i][j]i到j合并的最大值int resmax[maxlen][maxlen];//resmin[i][j]i到j合并的最小值int resmin[maxlen][maxlen];int ansmax;//存储临时最大结果bool dedge[maxlen];//最大结果所删掉的边int n,i,j,k,steplen,deledge;int tempmax,tempmin;//初始化void ini(){for (i=0;i<n;i++)for (j=0;j<n;j++)if(i == j) resmax[i][j] = resmin[i][j] = operand[i];else{resmax[i][j] = minnum;resmin[i][j] = maxnum;}}int main(){freopen("1.txt","r",stdin);cin>>n;for (i=0;i<n;i++)cin>>operat[i]>>operand[i];ansmax=minnum;//对每条边进行删除遍历for (deledge=0;deledge<n;deledge++){ini();//对应所删边的步长for (steplen=2;steplen<=n;steplen++){//遍历对应步长的起始位置for (i=deledge;i<=n+deledge-steplen;i++){//对应的起始位置的终点位置j=i+steplen-1;//遍历断点Kfor (k=i;k<j;k++){int kleftmax=resmax[i%n][k%n];int kleftmin=resmin[i%n][k%n];int krightmax=resmax[(k+1)%n][j%n];int krightmin=resmin[(k+1)%n][j%n];//根据操作符不同进行不懂的动态转移式if(operat[(k+1)%n]=='t'){tempmax=kleftmax+krightmax;tempmin=kleftmin+krightmin;}else{tempmax=max(max(kleftmax*krightmax,kleftmin*krightmin),max(kleftmin*krightmax,kleftmax*krightmin));tempmin=min(min(kleftmax*krightmax,kleftmin*krightmin),min(kleftmin*krightmax,kleftmax*krightmin));}resmax[i%n][j%n]=max(resmax[i%n][j%n],tempmax);resmin[i%n][j%n]=min(resmin[i%n][j%n],tempmin);}}}//如果最大值不同则刷新结果，相同则对应位置为真if(resmax[deledge][(deledge+n-1)%n]>ansmax){memset(dedge,0,sizeof(dedge));ansmax=resmax[deledge][(deledge-1+n)%n];dedge[deledge]=1;}else if(resmax[deledge][(deledge-1+n)%n]==ansmax)dedge[deledge]=1;}//输出结果cout<<ansmax<<endl;for (i=0;i<n;i++)if(dedge[i]) cout<<i+1<<" ";}