素数生成和素数测试--筛选法

2到n 素数生成算法(筛选法)：

 

/*我的pc上。MAXNUM=2,000,000 需110ms 20,000,000需1485ms 200,000,000需19297ms 400,000,000需39484ms 算法基本思路是 ，将素数的倍数进行标记，标记过的是合数（合数的倍数是不用标记的，因为合数的倍数一定是素数的倍数） 当判别i是否为素数时， 2到i-1之间素数的倍数（在MAXNUM以内） 已经全部标记（合数的倍数不用标记） 因此，只要没有被标记，就是素数（这是筛选法名字的由来）确定i是素数后，对i的在i到Maxnum范围内的倍数进行标记。 算法复杂度为O（n）*/#include <windows.h>#include <stdio.h>const int MAXNUM=200000000;/*prim： 测试生成2-MAXNUM间的素数所花费的时间*/void prim() { int time = ::GetTickCount(); //开始计时 int * include = new int[MAXNUM/2]; //连续存放素数 bool * exclude = new bool[MAXNUM]; //标记合数 int * p = include; *p = 0; memset(exclude, 0, MAXNUM); for (int i=2; i <MAXNUM; ++i) { if (!exclude[i]) { *p++ = i; for (int j=i; j <MAXNUM; j+=i) exclude[j] = true; } } *p=0; time = ::GetTickCount() - time; //结束计时 //for(p=include;*p;++p) //输出所有素数 // printf( "%d ",*p); printf( "/n计算总耗时为:%d/n ",time); delete [] include; delete [] exclude;}/*将上面的筛选法稍作修改即可得到基于筛选法的单个整数的测试算法prime2 ： 测试n是否为素数*/bool prime2(int n){ bool * exclude = new bool[n]; memset(exclude, 0, n); for (int i=2; i <n; ++i) { if (!exclude[i]) { if (n%i==0) return 0; for (int j=i; j <n; j+=i) exclude[j] = true; } } delete [] exclude;} 

 

1.高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/ln(n)相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。这就是著名的素数定理。　　

2.十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，

至今也没有找到第六个费马素数。

3.18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。

4.孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。

5.歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。