空间复杂性学习笔记（space complexity）

1)空间复杂性类

SPACE(f(n))：SPACE(f(n))={L|L是O(f(n))空间的确定型图灵机判定的语言}

NSPACE(f(n))：NSPACE(f(n))={L|L是O(f(n))空间的非确定型图灵机判定的语言}

 

2）SAT属于PSPACE类（见第4条）问题，SAT可以在多项式空间的复杂度内判定->O（n）。

 

3）萨维奇定理

对于任何函数f（f(n)>=logn），其中f(n)>=n，则有：SPACE(f(n))⊆NSPACE(f²(n))。

该定理表明确定型机器可以用非常少的空间模拟非确定性机器。

 

4）PSPACE类

PSPACE是在确定型图灵机上、在多项式空间内可判定的语言类。

（P类的定义：P是确定型单带图灵机在多项式时间内可判定的语言类。）

 

5）PSPACE与P和NP的关系

显然，P⊆PSPACE，因为运行快的机器不可能消耗大量的空间。更精确地说，当t(n)>n时，由于在每个计算步上最多能访问一个新单元，因此，任何在时间t(n)内运行的机器最多能消耗t(n)的空间。

同样NP⊆NPSPACE，所以NP⊆PSPACE。

则有：P⊆NP⊆PSPACE=NPSPACE⊆EXPTIME

 

6）PSPACE完全性（PSPACE-complete）

语言B是PSPACE完全的，若它满足下面两个条件：

a. B属于PSPACE；

b. PSPACE中的每一个语言A多项式时间可归约到B。

 

7）PSPACE完全性的例子

a）TQBF是PSPACE完全的。

证明 首先，给出一个判定TQBF的多项式空间算法：

T=“对输入<ø>”，ø是一个全量词化布尔公式：

1.若ø不含量词，则它是一个只有常数的表达式。计算ø的值，若为真，则接受；否则，拒绝。

2.若ø等于∃xψ，在ψ上递归地调用T，首先用0替换x，然后用1替换x。只要有一个结果是接受，则接受；否则，拒绝。

3.若ø等于∀xψ，在ψ上递归地调用T，首先用0替换x，然后用1替换x。若两个结果都是接受，则接受；否则，拒绝。

b）博弈的必胜策略

c）广义地理学

 

===到目前为止我们只考虑了时间和空间复杂性界限至少是线性的情况，即界限f(n)至少是n。现在考虑更小的亚线性空间界限。===

===对于亚线性空间采用两带模型，即具有两条带的图灵机，一条只读输入带和一条读写工作带。===

8）L类和NL类

a） L是在确定型图灵机在对数空间内可判定的语言类，换言之，L=SPACE（logn）；

b） NL是非确定性图灵机在对数空间内科判定的语言类，换言之，NL=NSPACE（logn）。

PATH属于NL类问题（PATH是指判断有向图中指定点s到t是否存在一条路径的问题，注意，路径是无重复点边的walk）。

 

9）NL完全性（NL-complete）

语言B是NL完全的，如果

a）B∈NL，并且

b）NL中的每个A，对数空间可约到B。

 

10）对数空间转换器与对数空间可约性

对数空间转换器（log space transducer）是有一条只读输入带、一条只写输入带和一条读写工作带的图灵机。工作带可以包含O(logn)个符号。对数空间转换器M计算一个函数f：∑*->∑*，其中f(w)是把w放在M的输入带上启动M运行，到M停机时输出带上存放的字符串。称f为对数空间可计算函数。

如果语言A通过对数空间可计算函数 f 映射可归约到语言B，则称A对数空间可规约到B，记为A≦_LB。

 

11）PATH是NL完全的。

参见：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%90%A8%E7%BB%B4%E5%A5%87%E5%AE%9A%E7%90%86

12）NL⊆P

13）NL等于coNL

 

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