证明：如果作用于一动态表上的第i个操作是TABLE-DELETE，且αi-1 ≥ 1/2，则以势函数（17.6）表示的每个操作的平摊代价由一个常数从上方限界

这是《算法导论》（原书第二版）中第17章的一个习题（17.4-2）。

分成三种情况讨论：

1）α_i≥ 1/2

这时表并没有进行扩张或收缩，只是表中的项数少了1

平摊代价

^Ci

=

c_i+Φ_i-Φ_i-1

 

=

1 + (2 · num_i - size_i) - (2 · num_i-1 - size_i-1)

= 1-2 =-1

2)  1/4<=α_i < 1/2

这时表并没有进行扩张或收缩，除了表中的项数少了1，

^Ci =

c_i+Φ_i-Φ_i-1

 

=

1 + (size_i /2 - num_i) - (2 · num_i-1 - size_i-1)

     

=3+3/2 size_i-1 -3 num_i-1

=3+3(1/2 -α_i-1) size_i-1<=3

 

3) α_i<1/4

这种情况只对size_i-1等于2时，num_i-1等于1时才会发生。

这时，需要对表进行两次收缩才能满足1/4<=α_i <=1，这样表变成一个空表，尺寸和项数都是0。

平摊代价：

^Ci =1

因此，平摊代价至多为3