算法导论 习题 5.4-4

题：

一个聚会需要邀请多少人，才能让其中很可能有3人的生日相同？

 

解：

设房间人数为m，一年有n天

1<= i <= m,1<= r <= n

 

Pr{bi=r} = 1/n;

Pr{bi=r and bj=r and bk=r} = Pr{bi=r} * Pr{bj=r} * Pr{bk=r} = 1/n^3;

Pr{bi=bj=bk} = ∑Pr{bi=r and bj=r and bk=r} (r=1,2,3...n)

                      = n * 1/n^3 = 1/n^2；

设指示器随机变量 Xijk= { 1        如果i,j,k 生日相同

                                  { 0        否则

所以E[Xijk]=Pr{bi=bj=bk}= 1/n^2;

X= ∑∑∑Xijk (i=1,2...m-2,j=i+1...m-1,k=j+1...m)

E[X] = E[∑∑∑Xijk ]

        = ∑∑∑E[Xijk] 

        = C(3,m) * 1/n^2

        = m(m-1)(m-2) / (6 * n^2)

则：

E[X] >= 1；