一个耐人寻味的概率问题

       袋中有编号为1，2，3……n的n个球，先从袋中任取一球，如果该球不是1号就放回袋中，是1号就不放回，然后再取一球，求取到2号球的概率。

     在回答这个问题之前我们先解决下另外1个对理解该题有帮助的问题。一个袋中有10个球，2个黑球，8个白球。Question1，现在从袋中任意取球，每次取一球，取后不放回，求第k（1<=k<=10）次取到黑球的概率，当然咯，每次取到的球不准看。我们先从比较笨的方法考虑。k=1的情况，第一次取的话袋中有10个球，取到黑球的概率是0.2。k=2，袋中还有9个球，具体有几个黑球几个白球你不知道，因为第一次取的球的颜色你是不能看的。假设第一次取走的是黑球，那么剩下的9个球中就只有1个黑球，假设第一次取走的球是白球，那么剩下的9个球中就有2个黑球。那么第2次我取到黑球的概率是多少呢，需要用到全概率公式。第一次取走黑球的概率是0.2，取走黑球后第2次再取到黑球概率是1/9；第一次取走白球概率是0.8，取走白球后，取到黑球概率是2/9。故第二次取到黑球的概率为p=0.2*1/9+0.8*2/9=0.2，和k=1的情况是一样的。有人会说这可能是巧合啊，那我用k=3试试啊。计算后你发现k=3时取到黑球的概率还是0.2。刚才说过这是比较笨的方法，我用另外一种方法来解释下到底是怎么回事。给你5个数字1，2，3，4，5组合成一个五位数，你能组合出多少种，5！种；如果个位数已经确定是3，你能组合出多少种，4！种。把这么多组合数放在一个袋中，你任取一个，取出来的五位数个位数是3的概率为多少，(4！)/(5！)=0.2。给你10个球，黑1，黑2，白1，白2，白3一直到白8，把这10个球排成一排，有多少种组合，10！。如果第3个位置已经确定是黑球，有多少种组合，2*9！，因为黑1和黑2都当做黑球来算。把这么多组合放在袋中，你任取一个，取出来的组合第3个位置是黑球的概率为多少，(2*9！)/10！=0.2。第4个位置是黑球，第5个位置是黑球是不是都一样了呢，嘿嘿，一样的。所以我们得出结论，取球过程中，无论是第几次取，取到黑球的概率都一样，为黑球个数除以总球个数。和生活中的抓阄是一样的，你先抓和后抓，抓到的概率都一样。

       好了，我们回到最开始的问题。脑子有点迷糊，休息会。考虑了一个下午，终于发现我把题目意思理解错了。不过我引用的例子还是很有效的。看清楚我们要求的题目，先从袋中任取一球，这是第一次取。取出球之后你查看下这个球如果是1号球就不放回袋中，继续开始第2次取，求这次取到2号球的概率；如果第一次取到的球不是1号球就放进袋中，接着第2次取，求取到2号球的概率。这下问题就简单多了，第一次取到1号球的概率为1/n，第2次取的时候，袋中就只有n-1个球了，取到2号球的概率为1/(n-1)；第一次没有取到1号球的概率为(n-1)/n,第2次取的时候袋中还有n个球，这时候取到黑球的概率为1/n。所以问题所求的概率为p=(1/n)*1/(n-1)+(n-1)/n*1/n。啊哦，问题总算解决了，想的太多了。

     这个问题是解决了，同时又让我想到另外一个问题。我把题目变一下。   袋中有编号为1，2，3……n的n个球。每次从袋中任取一球不放回，直到取到1号球。当取到1号球之后紧接着取一个球，取到2号球的概率是多少？