分治法：最小套圈问题【分析】

【问题描述】：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。

【算法分析】：将所给平面上的n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果组成S的最接近点对的两个点都在S1中或都S2中，则问题很容易解决。但是，如果这两个点分别S1和S2中，问题就不那么简单了。

为了使问题易于理解和分析，先来考虑一维的情形，如下图：

此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数 x1,x2,…,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2 ，基于平衡子问题的思想，用S中各点坐标的中位数来作分割点。递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|小于d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3∈(m-d,m]，q3∈(m,m+d]。由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m]中有S中的点，则此点就是S1中最大点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。

下面来考虑二维的情形，如下图：

选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。递归地在S1和S2上找出其最小距离d1和d2，并设d=min{d1,d2}，S中的最接近点对或者是d，或者是某个{p,q}，其中p∈P1且q∈P2。

再考虑合并时{p,q}的情况，如下图：

P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)小于d。满足这个条件的P2中的点一定落在一个d×2d的矩形R中。由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6×n/2=3n个候选者。

为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

【算法复杂度分析】：为提高算法效率，在算法中采用预排序技术，即在使用分治法之前，预先将S中的n个点依其y坐标排序好。经过预排序处理后的算法所需的计算时间T(n)满足递归方程：当n小于4时，T(n)=O(1)；当n大于等于4时，T(n)=2T(n/2)+O(n)。由此易知，T(n)=O(nlogn)。预排序所需的计算时间显然为O(nlogn)。因此，整个算法所需的计算时间为O(nlogn)。在渐近的意义下，此算法已是最优算法。