数学世界

数学和客观世界的关系

本贴子讲讲数学和客观世界的关系。但讲老实话，我原本不喜欢写这样的贴子，是
因为这种贴子有可能拿到一个正式的刊物发表，不会引起审稿人的不高兴。在强国
论坛我更喜欢写一些根本就没有任何可能在正式报刊发表的东西，我觉得这样很有
趣，好玩。

实际上数学世界和形式逻辑世界基本上是一个世界。关于这一点，我赞成英国哲学
家波普的观点，即有三个世界，客观世界，主观世界，和知识世界，但我宁可将知
识世界叫做数学世界。而原来马克思主义只知道两个世界，即主观世界和客观世
界。当然，马克思主义是可以扩充的，基本原理也不会改变。

首先要说明的是，数学世界即不是主观世界，也不是客观世界，在主观世界和客观
世界中都找不到数学世界的踪迹。

比如说，给定一个一元二次方程，存在着两个根。那么，这两个根存在在什么地方
呢？是在物质世界中么？不，物质世界中并没有方程的根这样的东西。是存在在人
的大脑中么？不，人类即使全部灭亡，一元二次方程的那两个根仍然存在。

所以“存在”这个词很奇妙，哲学上将存在问题称为本体论问题，而哲学家其实是很
怕接触本体论问题的，因此他们尽量研究其它问题也不研究本体论问题。

再比如说“存在着各种各样的方程”，或者说一个象棋的残局，存在着一种让红方取
胜的下法，或者说“存在着各种各样的潜在的棋，人类只是发现了其中的几种。”这
些存在，都不依赖于人的大脑而存在。即使人类全部灭亡，也还是存在。

因此，我们相信有一个知识世界或者说数学世界存在了。因此就有三个世界，即我
们大脑中的思维构成主观世界，自然界构成物质世界，还有数学世界。而认识的任
务就是大脑中的主观世界对物质世界和数学世界进行认识。

在数学世界中，主要解决的是逻辑推理的问题。什么叫逻辑推理呢？就是从某个给
定的条件推理出另一个结论。比如说，加法是符合交换律原则的，因此，如果我们
知道2+3=5，就可以根据交换律原则得出结论，3+2=5。

因此，数学研究的问题是“如果什么，就有什么”的问题。或者说“如果A，就有B”的
问题。比如上例，就是“如果加法符合交换律原则且2+3=5，则必然有3+2=5。”

但是，数学体系中，“如果”后面跟的一堆东西特别地少，而“就有”后面跟着的东西
数量特别巨大，成千上万。“如果”这个词后面跟着的是几条被称做公理的东西，而
“就有”后面跟着的是成千上万的被称作定理的东西，和成千上万的计算结果。

因此，数学归根到底研究的是，“如果有这么一点点的几条公理成立，就有那么那
么那么那么多的定理和计算结果成立。”

那么，公理是什么呢？公理是人为规定的游戏规则，是蛮不讲理地规定出来的。比
如说下象棋，“马走日，象走田”，这就是人为的规定，有了这种规定，就会推论出
无穷无尽的棋的下法。当然你也可以有其它的规定，但那样就产生了其它的游戏。
当然，公理的规定也有几条规则。比如说，几个公理不能自身打架，不能够被相互
推导出来，等等。

比如说“两条平行线永远不相交”，就是一个人为的规定，而“两条平行线会相交”则
是另一个人为的规定，由于这两个规定的不同，而产生了欧几里得几何学，和非欧
几何学。

而数学家是强调推理的严格性的，但是，将话说得非常严格，是非常地不容易的，
因此，几乎所有的科学家，都非常害怕数学家找他们的麻烦，因此现在的许多科学
书籍中的前言都写着“本书不追求数学的严格性”，这句话是写给数学家的，意思就
是说：“你数学家别找我的麻烦，我怕了你了还不行？I服了U还不行？我求求你放
过我。”

下面讲我最近看到的一个笑话，非常有意思，是讲说话的严格性的：

一个老师在课堂上问一个高才生：“树上有十只鸟，用枪打下一只，还剩多少只？”
学生问：“树上的十只鸟能飞么？”老师说：“能飞，绝对能飞。”，“没有任何绳子
将这些鸟绑在树上么？”，“没有，绝对没有”，“那些鸟儿怕死么？”，“怕死，绝对
怕死。”，“中间有没有残疾的？听不见声音看不见东西的？”，“没有，统统健
康。”，“附近有没有其它的鸟？”，“没有，没有其它的鸟。”总之学生问了一大堆
这类问题，下课铃已经响了很久以好，才充满信心地回答说：“如果你没有骗我，
说的都是真的，那树上已经一只鸟儿都没有了。”

而数学为了严格性问题，甚至根本就不敢讨论任何自然界中的问题，比如苹果，鸟
什么的，因为，一出现这类词，就都需要一个严格的定义，比如说苹果的定义，鸟
的定义，但这是几乎不可能严格的。正因为如此，所以数学家为了严格，只敢讨论
一种非常抽象的东西，就是集合，和元素。因此，所有的数学游戏，或者说公理系
统，都是在集合和元素上定义的。但是集合是什么，元素是什么？数学家仍然困
惑，因为，任何的定义都要有母定义才行，可是集合是最开始的母定义了，因此集
合是只能解释，却无法定义的。比如说，“有一个直角的三角形叫直角三角形”，这
里用“三角形”来定义直角三角形。“有三条边的多边形叫三角形”，用多边形定义三
角形，“多边形是一种几何图形，由二条以上的直线包围而成”，因此多边形被几何
图形定义，最后一直追下去，就追到平面上的点，而平面是一个集合，其元素是
点。平面这个集合上有几种代数运算，构成一个公理化系统。但是集合怎么定义
呢？当然就没有办法定义了。因此，集合是范畴。形式逻辑上范畴就是指的最底一
层的无法定义的概念。

因此，数学家们就快活地生活在他们的集合世界中。

但是数学是怎样和客观世界，或者说物理世界发生关系的呢？是通过定律来发生关
系的。但是，一说到定律，纯数学家是一定不高兴的，或者可以说，只要牵涉到客
观世界，这话就没有任何办法说得严格。

比方说，1+1=2，这个数学家是承认的，永远承认，一加一就是等于二，这是建立
在自然数公理基础上的游戏演算出的结果。

但是，一个苹果加一个苹果等于几个苹果？这个问题数学家其实是没有办法解决
的，因为，一个苹果，和一个抽象的“1”，是根本不同的。除非你对苹果进行非常
严格的定义，否则的话，就等于开始加入不严格的东西了。

一个苹果加一个苹果等于几个苹果这个问题，是要通过实践来解决的，就是说要做
试验，而不是逻辑推理。比方说，拿来一个口袋，先装进去一个苹果，再装进去一
个，然后将袋子进而的苹果倒出来，数一数，发现是两个苹果，因此得出实验结
论，一个苹果加一个苹果等于两个苹果。

有人会问，人类有这么愚蠢，会做这样的实验吗？现在我们当然不必做，正如我们
现在也不必做验证“作用力与反作用力相等”这个定律的实验一样。但是，相信历史
上人类肯定要做这类实验的。而且，做这类实验需要规定好实验条件，比如说“先
放进一个苹果，再放进一个”，规定放进两个苹果的时间间隔不得超过一年，否则
的话第一个苹果可能就烂了。

那么，人类在做过多次的数苹果的实验后，发现数苹果的计数办法，和数学世界中
的抽象的自然数中的计算办法和规则完全相同，这个“发现”，可以用一个“数苹果
定律”来描述，即“对苹果的计数体系，与数学世界中的对自然数的计数体系完全同
构。”有了这个数苹果定律之后，这下就好了，以前数学家研究的所有的对自然数
的加法的定理，就都可以用在苹果的计数上了。当然，最后也可以发展出“数梨定
律”，“数石头定律”，等等。

实际上，在所有的数学教科书上的所有应用题，就都已经不是严格的数学了，就都
是有潜在的“定律”在支持了。

实际上，定律，就是建立数学世界到物理世界的桥梁。比如说万有引力定律啊，牛
顿三定律啊，麦克思韦定律啊，都建立了数学世界到物理世界的联系。

因此，科学家和数学家的任务是不同的。数学家只是在数学世界玩，而科学家则总
在试图建立物质世界和数学世界之间的联系，即发现定律，再由定律进入数学世
界，进行逻辑推理，将推理的结果返回到物理世界，对事物的发展作出预测。

那么，定律是怎样产生的呢？可以说是从大脑中“蹦”出来的，是完全没有道理的突
然性地蹦。但是，这种现象，毛泽东的《实践论》早已经解决，毛泽东管它叫“飞
跃”，即人类认识世界的过程中，实践的过程中，感性认识多了，就会在某种情况
下突然性地产生“飞跃”，即产生理性认识。这里的理性认识，就是建立起各种各样
的定律。

当然，由于资产阶级右派科学家们已经对马克思主义恨之入骨，对毛泽东思想恨之
入骨，早早宣布毛泽东思想过时，老套什么的，但是，从来就没有过认真的批判或
者驳倒，就知道拿毛泽东的私生活或者其它的只言片语做文章，从来不敢和毛泽东
的正式思想交锋，本来就是很不要脸的行为。

但另一方面，则将毛泽东思想的这个“飞跃”的原理偷过去，换一种说法，是一种变
相的剽窃，然后当作自己的东西，这也是很不要脸的。换的是一种什么说法呢？就
是那些舔美国人屁眼的某些假洋鬼子大吹特吹的“创造性思维”。其实，创造性思维
就是飞跃，就是突然性地从感性认识飞跃到理性认识。但是，右派知识分子不喜欢
毛泽东的说法，而特别喜欢洋鬼子的说法。

那么，怎样培养出人们“飞跃”的能力呢？现在报纸上不是大吹特吹什么培养儿童的
创造性思维吗？按毛泽东思想的观点，就是先还是要加强感性认识，毛泽东就说，
你一个儿童如果任何一栋具体的房子都没有看过，又怎么能够飞跃而产生“建筑物”
的概念呢？因此就是要多实践，多深入社会深入科学实验多动手多观察。然后呢？
就是要破除迷信，在头脑中不要对任何的权威崇拜，要相信自己的认识能力。一个
无条件进行崇拜的，拼命舔美国人屁眼却置毛泽东思想于不顾的人是很难产生飞跃
的。因此他们写文章就只能是抄袭或者玩弄文字游戏，什么真正的物质运动规律都
发现不了。

好了，还是回过头来说定律。比如说，欧几里得几何学有一个勾股定理，或者称毕
达哥拉斯定理，说的是直角三角形的斜边平方，等于两直角边平方之和。这是数学
世界的游戏，但是到实际的物理世界，也还是要做试验才能够建立起同构的。这样
同构之后就叫“勾股定律”而不是定理了。因此历史上确实有美国物理学家在巨大的
尺寸，两座山头上做实验来验证勾股定律是否正确。就和我前面说的验证“数苹果
定律”一样。但是他做的试验，尺寸还小了一些，而后来在大天体范围内的实验，
好象宇宙间不符合勾股定律似的。

而定律是无法通过数学来验证是否成立的，对定律而言，实践永远是检验真理的标
准。但是，又根本无法通过一个实验来“证明”定律的成立的。因为，定律用的都是
全称。比如说，“某一只天鹅是白的”就不是全称，就不叫定律，而叫事实。“所有
的天鹅皆白”就构成一个定律了。但是，人的大脑中产生“所有的天鹅皆白”，是通
过飞跃产生的，而并不是他看到过所有的天鹅之后才得出结论。而“万有引力”也是
这样，并不是这个人考查了世间万物之后才得出这个思想，而是飞跃产生的。此
外，当然也无法通过实验来验证世间所有万物确实有引力存在。

因此，马克思主义认为绝对真理的认识是一个无限的过程，想通过有限的过程来认
识真理是不可能的。任何真理都具有相对性，其存在都是有一定条件的。

但是波普则发现了科学试验的不对称性，即证伪性。即一个实验虽然无法证明一个
全称的定律，却可以否定一个全称的定律。比如说一个人的大脑飞跃出了“天鹅皆
白”的定律或者思想，因此开始做实验，当发现一个天鹅不白时，这个定律就被推
翻了。但是反过来就做不到，即观察了一千只天鹅还是白的，只能说实验“支持了”
天鹅皆白的理论，仅仅是“支持”，而不能够说“证明”了。

因此现在科学家并不宣布什么理论就是真理，而是说“现在人们普通认为...”，或
者“相信是由...”这样的说法。因此，正如马克思主义指出的，人们达到绝对真理
是一个无限的过程。