华为面试题：环球航行，空中加油

 一个有趣的算法题据说是华为面试题

要求：在50分钟以内，用程序写出下面题目的解决方案，所用语言不限，代码行数不要超过100行，允许有一点点语法错误。   
题目：美国战机F－16由于战略需要，做环球航行，环球飞行的距离为S，
已知F－16的最大载油量允许其最大连续航行距离1/2*S（一满箱油飞半个地球）,，
所有飞机只能从一个机场起飞/降落（中间无任何机场），
飞行中间只允许飞机互相加油，那么，问要让一架飞机达到全球飞行的目的，
至少要出动多少架次飞机？ 

我能找到的最佳方案是：需6架次飞机.

 问题出处：

http://www.nokiamobile.org.cn/18_100212_1610845.html

 
设机场在A 点

没飞机油箱容量为1, 途中至少加 1箱油，可从A->B->C->D完成航行。

若加两次油

1=1/2+1/2

若加四次油

1=1/4+1/4+1/4+1/4

观察上图，可看出，对主机的最佳加油点位在B 、D。

设编号为1号的飞机为主飞机，其它的飞机为加油机。

分析一：

       出发时 1 、2 号同时起飞 至 X 点

       1 号 剩余 3/4      2号 剩余 3/4

      从2号向1号加 1/4 , 此时

       1 号 剩余 4/4      2号 剩余 2/4 ，

       2 号机可安全返回, 1 号机可行至 Y 点， 还需 3/4 箱油。 这样正反方向加油不对称。

      也就是说： 共3架是不可能的。

出发时 1 号机最佳加油方式为：至 B 点有满箱油。

问题转化为： 至B点如何提供 1/2 箱油

1/2 = 1/4 + 1/4 需有2架飞机 各有3/4 箱油 , 各为共提供 1/4 后可安全返回。

如何 使一架飞机至 B 点有 3/4 ? 它自身带的油至B点只有2/4 ,沿途需加 1/4

因此答案得出：

( 1 ) 1,2,3,4 号机从A 点同时出发，

( 2 ) 行至 X 点

       4 号机 剩余 3/4 , 向 2号、3号加入 1/4 , 自身余 1/4 可安全返回

        机号：                    1 号      2 号          3 号  

        油量：                    3/4        4/4           4/4

(3) 行至 B 点：

        机号：                    1 号      2 号          3 号  

        油量：                     2/4        3/4           3/4

     2、3 号机各向 1号机加 1/4 , 此时

       机号：                    1 号      2 号          3 号  

       油量：                    4/4        2/4           2/4

     2，3 号机可安全返航， 1 号继续前进

(4) 1号机行至C 点时，同时从A点起飞 5、6、7号机

(5) 1号机行至 y 点时

     7号机给 5,6 各加 1/4 , 7号机可安全返回

(6) 1号、5号、6号在 D 点相遇

      5,6号各向1号加 1/4

      它们均剩余 2/4 箱油，均可安全返回，且刚油尽

所以此方案 共需 出动 7架次飞机 ，均可安全返回。

算法改进：

访算法有可改进之处:

 我们选择对1号机在 B,X 点位加油

( 1 ) 1、2、3 号机从 A 点出发, 至 X 点

      3 号分别向 1 、 2 号各加 1/4, 余 1/4可安全返回

      此时 1、2号各有 4/4

( 2) 行至 B 点 2 号向1 号 加1/4

     1号有4/4 2 号有 2/4 可安全返回

(3) 1 号行至C 点 , 4,5，6号从A点没反方向起飞

(4) 1号行至 Y 点，时, 4，5，6号机 在 Y的对称点处

    5号机向4号机向加 1/4, 返回

(5) 1、4、5 在 D 处相遇，

    4,5 向1 各加 1/4 均可安全返回.

所以架次可以优化为 6架次飞机

由于第二次起飞时， 2，3号均已返回，可以再次派出，

因此机场实际最少有4架飞机即可完成该任务。

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2010-05-30     晨

当我再次阅读上面的解法时，有新的想法：

即1号机从A点出发时， 带了两架加油机在 X 点加了一次油, 3 号机返回了

到B点时，2号机再向1号机加一次。

我们可以用对称的方法解决1号机从C点经D点返回时的接应加油机问题：

即：1号行至C 点时， 4号机从A点与1号机相向而行，至D点相遇

1号机有即将油飞，4号机有1/2箱油，4号向1号加1/4 ,此时1、4号各有 1/4 。

此时，从A点起飞5号接应机，至X点的对称点X' 处， 由5号机分别向1、4号机各加1/4

它们一起返回机场A。

由此可见，共需 5架次飞机即可。

......................................

上面的分析都是以油尽后返回机场，这是理论最小架次。

如果为一安全的原因，实现中可以用6架次，即在出发 护送时多派出一架 N6，

即： 1,2,3，N6 同行, 至 X与A的中点处(此时各机均有 7/8)

N6 分别向1,2,3 加 1/8 ，处自已还有 4/8 可安全返回。

如此， 3号向2、1 加油点可以越过 X 点靠近 B 点一点

2号向1加油的时间也可越过 B 点靠近 C 点一些，

如此 1号机飞至D点时尚可余一点油，4 号接应机可以在D点之右侧少许，为1号加油，

它们返回机场时都可以有一点油。而不至于到了机场没油了，没法安全降落。

于是本题的解：

最少理论架次为5，安全架次为6.

 终于为这些F-16的加油完成了设计，至于美同的机场怎么安排这些飞机的飞行，我们已经不用再去考虑了。

原贴地址：http://hi.baidu.com/jxq61/blog/item/5e2045ce37936f1c00e92833.html

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