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来源:互联网 发布:javascript堆栈溢出 编辑:程序博客网 时间:2024/05/03 00:22
第一章 集合 1. 集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误: (1){1}∈A ; (2){c}∈B; (3) {1,{2},4} (5){2} (9){ 解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。 (2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。 (3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。 (4)不正确。因为c (5)不正确。虽然{2}是一个集合,但是它只是A中的一个元素,不能有包含关系。 (6)不正确。理由同(5)。 (7)正确,符合定义。 (8)正确,都符合定义。 (9)不正确,因为B中本没有元素 (10)不正确。 2.确定下列集合的幂集: (1) A={a,{b}}; (2)B={1,{2,3}}; (2) C={ 解 (1)因为A的所有子集为 (2)因为B的所有子集为 (3) 因为C的所有子集为 (4) 因为D的子集为 说明 欲求一个给定集合的幂集合,首先把这个给定集合的所有子集列出,并检验所列子集的个数是否等于 2. 判定以下论断哪些是恒成立的?哪些是恒不成立的?哪些是有时成立的? (1) 若a∈A,则a∈A∪B; (2) 若a∈A,,则a∈A∩B; (3) 若a∈A∪B,则a∈A; (4) 若a∈A∩B,则a∈B; (5) 若a (6) 若a (7) 若 (8) 若 解 (1)恒成立.因为A (2)有时成立.若a∈A,但 (3)有时成立.若a∈A∪B,可能有三种情形: a∈A但 (4)恒成立。因为a∈A∩B,必有a∈A,且a∈B。 (5) 有时成立。虽然 (6) 恒不成立。因为 (7) 恒成立。当 (8) 有时成立。既然 4.设全集合E={a,b,c,d,e},A={a,d},B={a,b,e},C={b,d},求下列集合: (1) A∩~B; (2)(A∩B)∪~C; (3)~A∪(B-C);(4) 解 (1)A∩~B={a,d}∩{c,d}={d}. (2) (A∩B)∪~C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}. (3) ~A∪(B-C)={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}. (4) 故 5. 设A和B是全集E的子集,利用运算律证明: (1) (A∩B) ∪(A∩~B)=A; (2) B∪~((~A∪B) ∩A)=E. 证 (1) (A∩B) ∪(A∩~B)=A∩(B∪~B)=A∩E=A (3) B∪~((~A∪B) ∩A) =B∪~((~A ∩A) ∪(B∩A) (分配律) =B∪~( =B∪~(B∩A) (同一律) =B∪(~B∪~A) (德·摩根律) =(B∪~B)∪~A (结合律) =E∪~A (互补律) =E. 说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写. 6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证: (1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A); (2) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C). 证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) =(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C) =((A∩C)∪B)∩(A∪C) =((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C)) =(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C) =(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C) =(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) (3) (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C) =(A∩B)∪(((~A∩B) ∪(A∩~B)) ∩C) =(A∩B)∪(((~A∪A)∩(~A∪~B)∩(B∪A)∩(B∪~B))∩C) =(A∩B)∪((~(A∩B)∩(A∪B)∩C) =((A∩B)∪(~(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C) =((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C)) =(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C). 7. 利用A-B=A∩~B与吸收律及其它运算律,证明 (((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)=~A∩B 证 (((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A) =((A∪B)∩((A∪B)∪C))-((A∪(B-C))∩A) =(A∪B)-((A∪B)∩(A∪~C)∩A) =(A∪B)-(A∩(A∪B)∩(A∪~C) =(A∪B)-(A∩(A∪~C)) =(A∪B)-A =(A∪B)∩~A =(A∩~A)∪(B∩~A) = =~A∩B. 说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律,才使运算简便,否则将很繁杂。 8.设A,B,C为三个任意集合,试证明 (1) 若A×A=B×B,则A=B; (2) 若A×B=A×C,且A≠ 证 (1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此 对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此B (2) 若B= 若B≠ 同理可证C 说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明. 8. 在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x︱x∈R,且-3≤x≤2},Y={y︱y∈R,且-2≤y≤0},试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像. 解 X×Y={(x,y)︱-3≤x≤2, -2≤y≤0,x,y∈R} Y×X={(y,x)︱-2≤y≤0, -3≤x≤2, x,y∈R} X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分. 说明 对于笛卡尔积Y×X的图像,从(y,x)∈Y×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x