公交车换乘问题的算法分析小探

【作者简介】：蒋彪，22岁，南京信息工程大学计算数学本科毕业，QQ：258737400
【前言】：
最近几年，社会上地理信息系统和电子地图技术越来越受到大家的关注，很多单位和个人都投入了大量的人力和物力进行了相关的设计开发。在这些实际的开发问题中，我想就公交车换乘自动查询系统的核心算法的设计和分析做一个不成体统的研究，还希望同志们能帮我指正错误，帮助提高。
【问题的提出】：
一个城市中，有大量的公交线路和站点，公交线四通八达，现实中，一个站点A到另一个站点B，应该有大量的不同选择的路线可以走，每一条线路中间可能转车，可能直达，路线所花费的时间和路程是完全不同的。
那么，如何帮助路人选择一个最俭省时间和路程的线路来走呢？
我想，我们是不是应该首先对公交车换乘问题，进行数学建模，在其上设计一套完整的寻址算法，然后再在算法的基础上设计一套自动的查询软件，用以实际生活中呢？
所以，我就试着做了点自己的开发，对该问题提出了一点自己的算法设计想法，做的不好，还望各位同仁和前辈指点。
【对问题的数学建模】：
一个城市中，有大量的公交车站点，为了数学建模的方便，我们在这里假设，在一个地点只有一个相同的站点，我们不考虑一个相同的地点前后几米的位置有两三个不同的站点的现象，我们将距离附近的一切公交车站点抽象集合在一起，看成一个统一的地点。我们将这些独立的包含各种公交车站点的地点，看成无向图中间独立的各个结点。
于是，问题就变成，在一个拥有大量结点的无向图中，如何求任意两个点之间的最短距离的离散数学问题。
关于这个问题的算法设计，古今中外很多数学家都提出了自己的有效的算法。由于本问题中，我们所要求求得路径应该是精确的值，也就是说，我们不希望得到的是，可能的优化的解，而是对所有可能穷尽后的最合适花费最小的解，所以，我在这里不自量力，狗胆提出一些自己对本问题的看法和算法方面的一些设计想法。
【算法的提出】：
首先，对于无向图中任意两个结点之间最短路径求最精确解的问题，我们首先想到的应该是穷尽算法，也就是说，将所有可能的路径线路的值求出，然后用合适的算法进行排序，选出最短的，输出为解。

注：我们为结点设计一个二维表，用来存放各个结点之间的邻近距离，比如现在假设有五个结点A，B，C，D，E，其中结点之间的路径关系如下图

其中，5是A到B的长度，10是B到C的长度，2是B到D的长度，7是D到C的长度
据此我们设计如下二维表：

由于这个二维表中上三角矩阵和下三角矩阵雷同，所以在实际处理中，我们只考虑下三角的部分，在这个表中，NULL表示两点之间没有直接相邻，但并不代表两点不可达！＋∞就表示两点不可达，即根本没有线路连接两点。在本程序中，我们考虑用二维数组point[x][x]表示上述二维数组，其中x变量表示的是无向图中的各个站点，数组的取值就是站点之间的距离值，比如上述的二维表转换成为数组就成为：point[1][0]=5;point[2][0]=”NULL”;point[4][0]=” ＋∞”;
算法如下：
算法开始
输入：point[X][Y],开始结点begin,结束结点end
第一步：建立单链表LINK，用来存放每一次选择路线的路径结果和相应的路线。建立中间变量temp，用来存放每次路径选择中的暂时的长度。建立堆栈STACK，用来将每次选择的结点压栈，在最后穷尽失败的时候可以返回退栈重新选择新的路线。
第二步:for(y=0;y<end;y++)
          {
            x=begin;
            建立一个LINK结点Aa;
            do{
while(point[x][y]!=”NULL”&&point[y][end]!= ” ＋∞”&&y!=end)
               {
   结点压栈；
   temp+=point[x][y];
   将y添加到Aa结点用来存放路线的属性里面；
   begin=y;
}
if(y= =end)
{
  将temp添加到Aa的存放路径长度的属性里面;
  将Aa添加到LINK链表；
}
                  else{清空Aa;}
将结点出栈；
begin=出栈结点下标；
                  }while(STACK非空)；
}
第三步：对LINK里面的结点进行排序，输出长度最小的结点的路线序列；
算法结束

【对算法的修改和改良】：
    大家都注意到了，这个算法，穷尽一切可能的达到的结点序列，并且计算一切的结点序列路径和，最后进行数值比对，然后求出最优的结果。虽然可以很精确的求出最优的结果，但是在现实的问题的处理中间，如果当结点数目相当大的时候，想要快速实时的完成这个问题的求值可以说是impossible mission，如果想要开发一个实时的迅速的公交车查询系统，这种算法显然是不足取的。
因此，我考虑对原有的死板的算法进行优化。
首先，我们分析原有算法，很明显的看出，原有的算法，最大的时间开销在于它会穷尽一切可能的结点序列，不会遗漏每条路线的求值。但是在现实中，是不是会出现这样一个现象，我们可以利用已知的可达的线路的路径长度，排除掉在其他计算过程中明显大于它的结点序列，提前中断序列搜索的进行。
比如，在上图中，我们从A出发到达C，我们依据原有算法，在一开始从A走到B再走到C，得到的路径总长度是15。现在我们重新，从A到B到D到C，在这个过程中，当我们到达D的时候，路径的总长度就已经达到了17，就是说已经超过了15，那么再往下面搜索就没有目的了，我们可以提前从搜索中中断，转入下一序列的搜索。
依据这个原理，我们可以设计一个length用来存放已知最小的路径总长度，然后在搜索途中实时的与它进行大小对比，对比它大的搜索立即中断，转入下一搜索。
依据这个想法，如果选取的length适合，我们将可以大大降低算法的搜索深度，加快搜索的时间效率。
好了！想法有了，那么下面的问题就在于如何求出这个length，这是一个两难的问题，我们当然可以在程序内部每次执行一次扫描，选出最小的路径总长度将它放置在length里面，但是排序算法也是需要消耗时间的，而且将大量的排序内置在外围的循环中，这不能说一个良好的主意。
对此我的看法是，在程序之中，是否可以每隔一定的搜索次数后，进行一次排列算法，找到现在已知的路径总长度中的最小值，将其赋值给length，如果经过相关计算，选定优秀的搜索次数，可以保证算法的稳定和优秀的效率。
由于时间有限和专业知识的缺乏，我并不能提供出关于搜索次数的证明和计算公式。
 在这里我只能提出对原有穷举算法的改良
算法开始
输入：point[X][Y],开始结点begin,结束结点end，输入循环次数count
第一步：建立单链表LINK，用来存放每一次选择路线的路径结果和相应的路线。建立中间变量temp，用来存放每次路径选择中的暂时的长度。建立堆栈STACK，用来将每次选择的结点压栈，在最后穷尽失败的时候可以返回退栈重新选择新的路线。
       建立中间变量length，存放已知的最短总路径长度
第二步:for(y=0;y<end;y++)
          {
            x=begin;
            建立一个LINK结点Aa;
            int I;
            do{
while(point[x][y]!=”NULL”&&point[y][end]!= ” ＋∞”&&y!=end)
               {
   结点压栈；
   temp+=point[x][y];
   将y添加到Aa结点用来存放路线的属性里面；
if(temp>=length){temp=0;break;}  
   begin=y;
}
if(y= =end)
{
  将temp添加到Aa的存放路径长度的属性里面;
  将Aa添加到LINK链表；
}
                  else{清空Aa;}
将结点出栈；
begin=出栈结点下标；
I ++;
if(count= = I )
   {I =0;
对已知路径总长度进行排序，选出最短路径赋值给length;
}
                  }while(STACK非空)；
}
第三步：对LINK里面的结点进行排序，输出长度最小的结点的路线序列；
算法结束

【结束语】：
 君子达责兼济天下，穷则独善其身。
 中国传统知识分子的这种清贫乐道，恬静淡雅的处事之道一直是我很崇拜的。
 可惜，在现在欲望横流的中国社会，能够静下心来做一个文雅的江南知识分子好像并不是一件很容易的事情。毕竟，我们还要面对现实。
 这篇文章只是我的一点不足道的个人看法，还望众位前辈和同仁帮忙指点。
谢谢！
二○○六年三月二十六日星期日于南京