B树、B-树、B+树、B树都是什么

B树、B-树、B+树、B*树都是什么

 

B树

       即二叉搜索树：

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

       2.所有结点存储一个关键字；

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

       如：

       

 

      B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

       如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

       如：

      

 

   但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

 

  右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；      

       实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；

 

B-树

       是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

       2.根结点的儿子数为[2, M]；

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

       4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

       6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

       8.所有叶子结点位于同一层；

       如：（M=3）

 

      B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

       1.关键字集合分布在整颗树中；

       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

       3.搜索有可能在非叶子结点结束；

       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

       5.自动层次控制；

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

 

    

       其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；

       所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

       由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

 

B+树

       B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       1.其定义基本与B-树同，除了：

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

       3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

       5.为所有叶子结点增加一个链指针；

       6.所有关键字都在叶子结点出现；

       如：（M=3）

 

   B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

       2.不可能在非叶子结点命中；

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

       4.更适合文件索引系统；

  

B*树

       是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

 

   B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

       B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

       B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

       所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

  

小结

       B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

       B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；

       所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

       B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

       B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

 

【查找结构5】多路查找树/B~树/B+树

文章分类:综合技术

在前面专题中讲的BST、AVL、RBT都是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度与树高相关。那么降低树高自然对查找效率是有所帮助的。另外还有一个比较实际的问题：就是大量数据存储中，实现查询这样一个实际背景下，平衡二叉树由于树深度过大而造成磁盘IO读写过于频繁，进而导致效率低下。那么如何减少树的深度（当然不能减少查询数据量），一个基本的想法就是：

1. 每个节点存储多个元素 （但元素数量不能无限多，否则查找就退化成了节点内部的线性查找了）。

2. 摒弃二叉树结构，采用多叉树 （由于节点内元素数量不能无限多，自然子树的数量也就不会无限多了）。

这样我们就提出来了一个新的查找树结构 ——多路查找树。 根据AVL给我们的启发，一颗平衡多路查找树(B~树) 自然可以使得数据的查找效率保证在O(logN)这样的对数级别上。

 

【2-4树】

 

(2,4)树是一棵典型的平衡多路查找树。性质如下：

1.大小性质：每个结点最多4个子结点。

2.深度性质：所有外部结点的深度相同。

 

(2,4)其实是一棵迷你型的B树，其主要应用并不是为了将大数据量存储在外存上，而是通过减少树高来降低二叉查找树的查找代价。在介绍下面的B~树/B+树之前，请大家首先了解一下《外部存储器—磁盘 》。

 

 

【B~树】

 

B~树，又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B~树(m叉树)的特性如下：

1) 树中每个结点至多有m个孩子；

2) 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[m/2]个孩子；

3) 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子；

4) 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；

5) 每个非终端结点中包含有n个关键字信息：(n，A0，K1，A1，K2，A2，......，Kn，An)。其中，

     a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序排序Ki < K(i-1)。

     b)   Ai为指向子树根的接点，且指针A(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。

     c)  关键字的个数n必须满足： [m/2]-1 <= n <= m-1

 

例如：下面就是一棵3阶B~树

(为了简单，这里用少量数据构造一棵2-4树的形式，其实实际应用中的B树结点中关键字很多的)

 

 

B~树的建立

由于B~树结点中的关键字个数必须>=[m/2]-1。因此和平衡二叉树不同，每一次插入一个关键字并不是在树中添加一个结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成。否则，要产生结点的"分裂" 。

关于B~树以及后面B+树的插入，删除操作，在《数据结构算法与应用-搜索树 》中有详细讲解。

 

关于文件目录索引的B~树 磁盘 存储结构及其查询过程

既然我们说过B~树相比平衡二叉树的一个巨大的特点就是：海量数据存储时B~树利用磁盘存储的效率会高很多。那么我们现在就来简单的看看操作系统中文件目录的B~树结构是怎样的(这里只介绍简单的原理，至于想Windows,Linux的文件系统使用的是B+树结构，而且技术远远比这里介绍的复杂)。

 

首先，我们构造一个B树结点的信息：

 

     上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件的内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。

     我们现在把整棵树构造在磁盘中，假如每个盘块可以正好存放一个B~树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNode结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块 （详细见《外部存储器—磁盘 》）的地址。

      现在我们模拟查找文件29的过程：

      (1)根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作1次】

      (2)此时内存中有两个文件名17，35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35，因此我们找到指针p2。

      (3)根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作2次】

      (4)此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现26<29<30，因此我们找到指针p2。

      (5)根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作3次】

      (6)此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

 

     分析一下上面的过程，我们发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于3次磁盘IO操作时影响整个B~树查找效率的决定因素。

     当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘IO操作最少4次，最多5次。而且文件越多，B~树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。

 

 

【B+树】

 

 

B+树：是应文件系统所需而产生的一种B~树的变形树。 一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：

1)有n棵子树的结点中含有n个关键字；  (B~树是n棵子树有n+1个关键字)
2)所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (B~树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3)所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (B~树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

例如：下面就是一棵3阶B+树。我们可以和B~树做一个明显的对比.

 

 

下面我们用另外一个图来看一下B+树叶子节点和非终节点的特点：

 

上面这个图有一个很重要的性质：B+树的叶子结点包含了所有待查询关键字，而非终节点只是作为叶子结点中最大(最小)关键字的索引。因此B+树的非终结点没有文件内容所在物理存储的地址，而B~树所有结点均有文件内容所在的磁盘物理地址（B~树结构图中结点内部的小红方块）。 这个特点是B+树的一个重要优势所在。这一点我们在下面谈及。

 

关于FOXPRO索引文件的B+树磁盘存储结构及其查询

B+树在数据库，文件系统的索引结构中是十分常用的。关于B+树的磁盘存储可以参见上面B~树的情况，其一个结点用一个磁盘块存储。在这里我们对FOXPRO索引文件做一个简单的介绍，让大家对B+树的磁盘存储有一个大致的了解。

 

FOXPRO的索引文件（后缀IDX）由索引文件头和索引文件体组成。

文件头占一个块,相对于索引文件的物理零块号,它描述索引文件的组织信息,包括索引树的根结点位置,索引关键字表达式及索引关键字长度.其有用字节的含义如下表：

 

 

字节

                          内容

0-3

标识根结点所在块号

4-7

保留

8-11

索引文件总块数

12

索引文件的关键字长度

16

索引关键字表达式(以ASCII码存放）

 

索引文件体从索引文件的相对物理块号为1的块开始,文件体的每块也就是索引树的一个结点。其中重要的是索引项。索引项=关键字+指针域(4字节)。这就是我们上面常说的B+树结点中的两个重要的信息：待查询关键字和指向另一个结点的指针。文件体每块含义如下表：

 

 

字节

                内容

0

块属性标记.00H:非叶结点和根结点.01H:根结点,02H:叶结点.03H:既是根结点又是叶结点.

1

00H

2,3

块内索引项总数 (多个索引项)

4-7

同一层前继结点块号或4个FFFF值

8-11

同一层后继结点块号或4个FFFF值

12-

非递减顺序存放的索引项内容

 

B+树的查找与B~树类似。但通常B+树有两个头指针，一个指向根结点。另一个指向关键字最小的叶子节点。此外，所有叶子结点也按照大小顺序链接。因此，B+树有两种查找算法：一种从根结点出发，一种从叶子结点出发的顺序查找。

 

B+树的优势所在

 

为什么说B+树比B~树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

 

1、B+树的磁盘读写代价更低

 

我们都知道磁盘时可以块存储的，也就是同一个磁道上同一盘块中的所有数据都可以一次全部读取(详见《 外部存储器—磁盘 》 )。而B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针(比如文件内容的具体地址 ， 比如说不包含B~树结点中的FileHardAddress[filenum]部分） 。因此其内部结点相对B~树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。这样，一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

 

举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B~树(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B~树就比B+数多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

 

 

2、B+树的查询效率更加稳定。

 

由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

 

Java代码 

1. class BTNode<E extends Comparable<E>>{  

2.   

3.          // 结点中文件个数  

4.          int  filenum;    

5.          //子树的根结点指针向量  

6.          BTNode[]  ptr=new BTNode(filenum+1);    

7.          //文件名向量   

8.          E[] filename=new E(filenum);   

9.          // 指向磁盘中文件存储地址向量  

10.          FileHardAddress[]   recptr=new FileHardAddress(filenum);  

11.            

12. }