（算法）Tarjan离线算法解决LCA问题 （附POJ 1470 Closest Common Ancestors 代码）

       对于最近公共祖先问题，我们先来看这样一个性质，当两个节点（u，v）的最近公共祖先是x时，那么我们可以确定的说，当进行后序遍历的时候，必然先访问完x的所有子树，然后才会返回到x所在的节点。这个性质就是我们使用Tarjan算法解决最近公共祖先问题的核心思想。

      同时我们会想这个怎么能够保证是最近的公共祖先呢？我们这样看，因为我们是逐渐向上回溯的，所以我们每次访问完某个节点x的一棵子树，我们就将该子树所有节点放进该节点x所在的集合，并且我们设置这个集合所有元素的祖先是该节点x。那么我们有理由相信, 任何一个不属于已经访问的节点和已经访问的节点的LCA一定是当前这个根节点. 于是我们每次访问完一棵子树, 只需要将子树放进根节点对应的集合即可. 

       我们简单举例来说明这一点。假设我们刚刚已经完成访问的节点是a，那么我们看与其一同被询问的另外一个点b是否已经被访问过了，若已经被访问过了，那么这个时候最近公共祖先必然是b所在集合对应的祖先c，因为我们对a的访问就是从最近公共祖先c转过来的，并且在从c的子树b转向a的时候，我们已经将b的祖先置为了c，同时这个c也是a的祖先，那么c必然是a、b的最近公共祖先。

       对于一棵子树所有节点，祖先都是该子树的根节点，所以我们在回溯的时候，时常要更新整个子树的祖先，为了方便处理，我们使用并查集维护一个集合的祖先。总的时间复杂度是O(n+q)的，因为dfs是O(n)的，然后对于询问的处理大概就是O(q)的。

       这就是离线LCA求解算法, 也就是拯救世界的Tarjan. 上面可能说的不是很清楚，但是写起来还是比较好写。下面贴上我在POJ 1470上过的题的代码，简单的LCA问题的求解。

/*author UESTC_Nowitzki */#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <vector>using namespace std;const int MAX=1000;int indegree[MAX];int set[MAX];int vis[MAX];int frequency[MAX];vector<int> adj[MAX];vector<int> que[MAX];void init(int n){    memset(frequency,0,sizeof(frequency));    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(indegree,0,sizeof(indegree));    for(int i=1;i<=n;i++)    {        adj[i].clear();        que[i].clear();        set[i]=i;    }}int find(int k){    int r=k;    while(set[r]!=r)        r=set[r];    int i=k,j;    while(set[i]!=r)    {        j=set[i];        set[i]=r;        i=j;    }    return r;}void dfs(int i){    int len=adj[i].size();    for(int j=0;j<len;j++)    {        int son=adj[i][j];        dfs(son);        set[son]=i;    }    vis[i]=1;    len=que[i].size();    for(int j=0;j<len;j++)    {        int son=que[i][j];        if(vis[son])        {            int ans = find(son);            frequency[ans]++;        }    }}int main(){    int n,i,t,a,b;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        init(n);        for(i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d:(%d)",&a,&t);            while(t--)            {                scanf("%d",&b);                indegree[b]++;                adj[a].push_back(b);            }        }        scanf("%d",&t);        while(t--)        {            while(getchar()!='(');            scanf("%d%d",&a,&b);            que[a].push_back(b);            que[b].push_back(a);        }        while(getchar()!=')');        for(i=1;i<=n;i++)        {            if(indegree[i]==0)            {  //              printf("root=%d\n",i);                dfs(i);                break;            }        }        for(i=1;i<=n;i++)        {            if(frequency[i]>0)                printf("%d:%d\n",i,frequency[i]);        }    }    return 0;}