使用倍增算法(Prefix Doubling)构造后缀数组

如果采用对每个后缀排序的方法来生成后缀数组，即使采用快速排序，由于每次比较的对象是字符串（设输入字符串的长度为n），因此每一个比较操作的复杂度不再是常数，而是O(n)，快速排序本身的平均情况下时间复杂度为O(nlgn)，因此总的时间复杂度是O(n^2*lgn)，如果考虑到采用快速排序最坏情况下复杂度为O(n^2)，那么最坏时总的复杂度为O(n^3)，显然在输入串长度很大时这种做法不可取。

Prefix Doubling算法（倍增法）是构造后缀数组一个比较实用的算法。其基本思想是先计算出每个后缀的k-前缀的rank值，然后在此基础上计算每个后缀的2k-前缀rank值，k从1开始。直到每个后缀都排出先后顺序为止（任何两个后缀都不会相等，换句话说，每个后缀终究都能排出先后顺序）。在处理2k-前缀时，只需要使用基数排序（radix sort）算法，先后对两位数字排序（可以采用计数排序算法(counting sort)对每一位数字排序）。在最坏情况下，需要做lgn次基数排序，每一次基数排序的操作次数为2*O(n)，因此它的时间复杂度是O(nlgn)。倍增法虽然没有达到像DC3算法的线性复杂度，但是它的优点是实现比较简单，因此在实践中常被采用。

在以下实现中，当k=1时，由于只需要对输入串的每个字符排序，因此在采用基数排序时，只有一位数字需要排序。当k>1时，需要对两位数字排序（为考虑通用性，代码中Tuple.digits数组长度可以取>=1的任何整数，而不限于两位数字的基数排序）。如果rank数组中某个后缀具有最大rank值，而且该rank值等于输入串的长度，这时说明每一个后缀都排出了次序，因而可以提前终止程序。另外，假设字母表中最大的字符为MAX_CHAR。

注：rank数组中的rank值对应SA数组的下标+1。例如T=mississippi#,那么SA=(11,10,7,4,1,0,9,8,6,3,5,2),这里第7个后缀（即ippi$）在SA数组中的下标是2，因此Rank[7]=3。

实现：

/** *  * Build Suffix Array using Prefix Doubling Algorithm * see also: Udi Manber and Gene Myers' seminal paper(1991): "Suffix arrays: A new method for on-line string searches" *   * Copyright (c) 2011 ljs (http://blog.csdn.net/ljsspace/) * Licensed under GPL (http://www.opensource.org/licenses/gpl-license.php)  *  * @author ljs * 2011-07-17 * */public class PrefixDoubling {public static final char MAX_CHAR = '\u00FF';class Suffix{int[] sa;  //Note: the p-th suffix in sa: SA[rank[p]-1]];//p is the index of the array "rank", start with 0;//a text S's p-th suffix is S[p..n], n=S.length-1.int[] rank; boolean done;}//a prefix of suffix[isuffix] represented with digitsclass Tuple{int isuffix; //the p-th suffixint[] digits;public Tuple(int suffix,int[] digits){this.isuffix = suffix;this.digits = digits;}public String toString(){StringBuffer sb = new StringBuffer();sb.append(isuffix);sb.append("(");for(int i=0;i<digits.length;i++){sb.append(digits[i]);if(i<digits.length-1)sb.append("-");}sb.append(")");return sb.toString();}} //the plain counting sort algorithm for comparison//A: input array//B: output array (sorted)//max: A value's range is 0...maxpublic void countingSort(int[] A,int[] B,int max){//init the counter arrayint[] C = new int[max+1];for(int i=0;i<=max;i++){C[i] = 0;}//stat the count in Afor(int j=0;j<A.length;j++){C[A[j]]++;}//process the counter array Cfor(int i=1;i<=max;i++){C[i]+=C[i-1];}//distribute the values in A to array Bfor(int j=A.length-1;j>=0;j--){//C[A[j]] <= A.length B[--C[A[j]]]=A[j];}} //d: the digit to do countingsort//max: A value's range is 0...maxprivate void countingSort(int d,Tuple[] tA,Tuple[] tB,int max){//init the counter arrayint[] C = new int[max+1];for(int i=0;i<=max;i++){C[i] = 0;}//stat the countfor(int j=0;j<tA.length;j++){C[tA[j].digits[d]]++;}//process the counter array Cfor(int i=1;i<=max;i++){C[i]+=C[i-1];}//distribute the values  for(int j=tA.length-1;j>=0;j--){//C[A[j]] <= A.length tB[--C[tA[j].digits[d]]]=tA[j];}}//tA: input//tB: output for rank caculationprivate void radixSort(Tuple[] tA,Tuple[] tB,int max,int digitsLen){int len = tA.length;int digitsTotalLen = tA[0].digits.length;for(int d=digitsTotalLen-1,j=0;j<digitsLen;d--,j++){this.countingSort(d, tA, tB, max);//assign tB to tAif(j<digitsLen-1){for(int i=0;i<len;i++){tA[i] = tB[i];}}}}//max is the maximum value in any digit of TA.digits[], used for counting sort//tA: input//tB: the place holder, reused between iterationsprivate Suffix rank(Tuple[] tA,Tuple[] tB,int max,int digitsLen){int len = tA.length;radixSort(tA,tB,max,digitsLen);int digitsTotalLen = tA[0].digits.length;//caculate rank and saint[] sa = new int[len];sa[0] = tB[0].isuffix;int[] rank = new int[len];int r = 1; //rank starts with 1rank[tB[0].isuffix] = r;for(int i=1;i<len;i++){sa[i] = tB[i].isuffix;boolean equalLast = true;for(int j=digitsTotalLen-digitsLen;j<digitsTotalLen;j++){if(tB[i].digits[j]!=tB[i-1].digits[j]){equalLast = false;break;}}if(!equalLast){r++;}rank[tB[i].isuffix] = r;} Suffix suffix = new Suffix();suffix.rank= rank;suffix.sa = sa;//judge if we are doneif(r==len){suffix.done = true;}else{suffix.done = false;}return suffix;}//Precondition: the last char in text must be less than other chars.public Suffix solve(String text){if(text == null)return null;int len = text.length();if(len == 0) return null;int k=1;char base = text.charAt(len-1); //the smallest charTuple[] tA = new Tuple[len];Tuple[] tB = new Tuple[len]; //placeholderfor(int i=0;i<len;i++){tA[i] = new Tuple(i,new int[]{0,text.charAt(i)-base});}Suffix suffix = rank(tA,tB,MAX_CHAR-base,1);while(!suffix.done){ //no need to decide if: k<=lenk<<=1;int offset = k>>1;for(int i=0,j=i+offset;i<len;i++,j++){tA[i].isuffix = i;tA[i].digits=new int[]{suffix.rank[i],(j<len)?suffix.rank[i+offset]:0};}int max = suffix.rank[suffix.sa[len-1]];suffix = rank(tA,tB,max,2);}return suffix;}public void report(Suffix suffix){int[] sa = suffix.sa;int[] rank = suffix.rank;int len = sa.length;System.out.println("suffix array:");for(int i=0;i<len;i++){System.out.format(" %s", sa[i]);}System.out.println();System.out.println("rank array:");for(int i=0;i<len;i++){System.out.format(" %s", rank[i]);}System.out.println();}public static void main(String[] args){/*//plain counting sort test:int[] A= {2,5,3,0,2,3,0,3};PrefixDoubling pd = new PrefixDoubling();int[] B = new int[A.length];pd.countingSort(A,B,5);for(int i=0;i<B.length;i++)System.out.format(" %d", B[i]);System.out.println();*/String text = "GACCCACCACC#";PrefixDoubling pd = new PrefixDoubling();Suffix suffix = pd.solve(text);System.out.format("Text: %s%n",text);pd.report(suffix);System.out.println("********************************");text = "mississippi#";pd = new PrefixDoubling();suffix = pd.solve(text);System.out.format("Text: %s%n",text);pd.report(suffix);System.out.println("********************************");text = "abcdefghijklmmnopqrstuvwxyz#";pd = new PrefixDoubling();suffix = pd.solve(text);System.out.format("Text: %s%n",text);pd.report(suffix);System.out.println("********************************");text = "yabbadabbado#";pd = new PrefixDoubling();suffix = pd.solve(text);System.out.format("Text: %s%n",text);pd.report(suffix);System.out.println("********************************");text = "DFDLKJLJldfasdlfjasdfkldjasfldafjdajfdsfjalkdsfaewefsdafdsfa#";pd = new PrefixDoubling();suffix = pd.solve(text);System.out.format("Text: %s%n",text);pd.report(suffix);}}

测试：

Text: GACCCACCACC#
suffix array:
 11 8 5 1 10 7 4 9 6 3 2 0
rank array:
 12 4 11 10 7 3 9 6 2 8 5 1
********************************
Text: mississippi#
suffix array:
 11 10 7 4 1 0 9 8 6 3 5 2
rank array:
 6 5 12 10 4 11 9 3 8 7 2 1
********************************
Text: abcdefghijklmmnopqrstuvwxyz#
suffix array:
 27 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
rank array:
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1
********************************
Text: yabbadabbado#
suffix array:
 12 1 6 4 9 3 8 2 7 5 10 11 0
rank array:
 13 2 8 6 4 10 3 9 7 5 11 12 1
********************************
Text: DFDLKJLJldfasdlfjasdfkldjasfldafjdajfdsfjalkdsfaewefsdafdsfa#
suffix array:
 60 0 2 1 5 7 4 6 3 59 47 54 30 34 41 17 11 25 53 29 33 9 19 23 13 56 44 37 50 48 58 46 10 55 36 39 15 31 20 27 51 40 16 24 32 35 43 21 28 8 22 14 42 52 18 12 57 45 38 26 49
rank array:
 2 4 3 9 7 5 8 6 50 22 33 17 56 25 52 37 43 16 55 23 39 48 51 24 44 18 60 40 49 20 13 38 45 21 14 46 35 28 59 36 42 15 53 47 27 58 32 11 30 61 29 41 54 19 12 34 26 57 31 10 1