对零点的一些理解

 对零点的一些理解

 

    在数字信号处理中，通常用系统函数来描述一个系统：

 

                              H(z)=A(z)/B(z)       (1)

    上式中分子为零时得到的解是为系统的零点，分母为零时得到的解是为系统的极点。可以说，一个系统零极点确定之后，这个系统的特性就完全确定了。或者说，用式(1)描述的系统与用零极点描述的系统是完全等价的。

       在数字信号处理的分析和应用中，对极点的讨论更多，因为极点事关系统的稳定性。一个不稳定的系统是无法使用的。但对零点的讨论则比较少。零点到底起什么样的作用呢？为什么最小相位系统要求零极点都在单位圆内？

       实际上，零点最大的作用就是控制系统的相位延迟。如何理解呢？假定某个系统为全零点的一阶系统，比如一阶的FIR滤波器，其系统函数为：

                            H(z)=1+0.5z^-1     (2)

这个公式表示的如下的信号处理过程：系统的输出是当前的输入加上0.5倍的前一个时刻输入之和。显然，如果当前的输出等于当前输入的话，系统没有任何延迟，这时系统函数为H(z)=1，的确也没有零点。如果系统的输出还和前一个时刻的输出有关的话，至少在时间上，输出相对输入必定有滞后，这在相位上就表现为延迟。因此可以顺理成章地推断，零点越大，也即是前一个时刻在输出中所占的权重越大，相位延迟越大。而且还可以顺理成章地推断，零点越多的话，系统的延迟越厉害。因为根据多项式分解的理论，任何一个多项式总可以分解为多个低阶多项式的乘积。也就是说，一个高阶的FIR滤波器可以看做是多个一阶FIR滤波器串接而成。每个一阶的FIR滤波器都会造成延迟，则阶数越多的话，延迟越多。

       由此也可以很好理解，为什么最小相位系统实际上是最小相位延迟系统，因为根据上述的理解，单位圆外的零点导致的相位延迟必定大于单位圆内的零点。