无向连通图的割点与割边

                     无向连通图的割点与割边：

最简单的方法：要判断一个点是否为割点，先把这个点和所有和它连接的边从图中去掉，再遍历

下剩余的图，看看是否为连通的即可。这只在单独判断某一点(边)时才会选用。

 

割点将一个图分成了两部分，设从任一部分的任一点出发对图进行DFS遍历，当遍历递归到割点后，
就进入了图的第二部分。又因为每个点只能visit一次，所以第二部分的点不论怎样遍历再也回不
到第一部分了。当所有点(第二部分中)都被访问完后，才回溯到割点，再继续向上回溯。

 

在DFS的过程中，记录每个点u在DFS树中的标号n1(放在dep[u]中)，以及该点所能到达的最小顺序
号n2(存在low[u]中)。注意：这个n2在求取时，是递归进行的，从u的子孙们的low值n2与u的祖先
们的dep值n1(此时u祖先的low值还未求出，dep相当于它的low值)中挑出最小的。这就给了u的儿子
们low值比u还小的机会。然而，如果u是割点，那么u孩子们的low值就决然 >= u 了。这也就成了
判断u是割点的方法。

 

至于割边，可以再判断u是否为割点的同时，顺便判断<u,u儿子i>是否为割边。只要满足low[i]>u
就行了。

 

另外，对于dfs起点就是一个割点的情况：如果不是割点，那它必然只有一个儿子(其他连接都被
dfs回溯掉了)。它必须是割点，才能保证它的几个儿子不被dfs回溯掉。

注意：想要记录割点u切去后增加的连通分量数目。不能简单的记录u的孩子数，而必须在判断u为
割点成立的地方进行统计。即有多少个证明了u是割点的孩子，它们就是u在切除后生成的新连通
分量。割点u的某些孩子不一定能证明u是割点，因为它可能与比u小的某个点相连，从而使自己的
low值比u还小，这与具体的dfs树有关，即遍历的顺序有关。 可见末尾的一组数据，对同一个图
的描述，由于建树的方式不同，导致3的儿子4，不能证明3是割点。从而使3的孩子数(3) ！= 3造就
的连通分量数2（删除3后，两棵子树成为连通分量）。

针对这点再强调一点：对根节点删掉自己后，就只剩新生的联通分量了。不同于枝节点，还有旧的
连通分量在。

 

汇总如下：
如果根结点有大于1个的儿子，那么根结点是割点。(这是防止)
如果对于点u的某个儿子v，有low[v] >= dep[u]，那么u就是一个割点。
如果对于点u的某个儿子v，有low[v] > dep[u]，那么(u,v)是一条割边。

 

伪代码如下：

int cnt = 0;dfs(int v,int father, int depth) //v是当前结点，father父节点，depth记录dfs标号{//WHITE：标未访问        //GREY： 标访问到了，任在处理中    //BLACK: 标处理完毕。    col[v] = GREY; dep[v] = depth;    child = 0; // child 记录v的孩子数for (每个与v相邻的点i){          // 先于v受到遍历的节点们，它们可能是v的祖先。if (i != father && col[i] == GREY) //别把father当成孩子结点low[v] = min(low[v], dep[i]); //更新low[v]if (col[i] == WHITE) // 这是v的子节点们，它们尚未被访问                    {dfs(i, v, depth+1);child = child + 1;//更新v结点的low值，注意此时v子孙们的low值早已求完，尘埃落定了。low[v] = min(low[v], low[i]);            if ((v为根 && child > 1) || (v不为根 && low[i] >= dep[v]))//证明u是割点    { v为割点;    cnt++ ;}//判割点；cnt记录切去v后增加的分量数目if (low[i] > dep[v])                              <V,I>为割边;     //判割边}}col[v] = BLACK; //标记v已处理完毕}

 

CODE:

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N = 110;const int WHITE = 0,GREY = 1,BLACK = 2; //标记值int map[N][N];int col[N],low[N],dep[N];//colorint n,m;bool tag[N];//标记点i是否割点//求0-1图的割点void dfs(int now,int father,int depth){    col[now] = GREY;    dep[now] = depth;    int child = 0;    for(int i=1;i<=n;i++){        if(map[now][i]==0)continue;               if(i != father && col[i] == GREY)            low[now] = min(low[now], dep[i]);//low需要被初始化成大数        if(col[i] == WHITE){            dfs(i, now, depth+1);            child = child + 1;            low[now] = min(low[now], low[i]);            if((now==1&&child>1)||(now!=1&&low[i]>=dep[now])) //判割点                tag[now] = 1;//注意：需要记录该割点增加几个联通分量的操作需要在这里cnt++        }    }    col[now] = BLACK;}void init(){    memset(map,0,sizeof(map));    memset(col,0,sizeof(col));    memset(tag,0,sizeof(tag));    for(int i=0;i<=n;i++)low[i]=INT_MAX; //low应该被初始化成大值}int main(){    int a,b;    cin>>n>>m;    init();    for(int i=0;i<m;i++){        cin>>a>>b;        map[a][b] = map[b][a] = 1;//无向图    }       dfs(1,1,0);//dfs(root,root,0)的形式调用就行了    int ans=0;       for(int i=1;i<=n;i++)        if(tag[i])cout<<i<<' ';       cout<<endl;    system("pause");    return 0;}/*4 41 22 41 32 3*//*5 50 33 43 14 20 23       //3有3个孩子5 50 22 40 33 4     //3只有2个新生连通分量3 12*/