组合数的序号问题

来源：互联网发布：java 支付宝支付 demo 编辑：程序博客网时间：2024/05/29 04:34

这里我们要处理的是把从{1,2,…,n}抽取r个数的所有组合按字典序排序，注意每个组合都保证是升序排列。问题是给定一个组合，确定其在所有组合中的序号？比如：n=4，r=2，所有组合按字典序排列如下

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

组合{2,4}的序号为5。一般而言，令

则可得如下递推公式：

令

因此递推公式可重新表述为

反复用这个公式可得

从而只要计算了帕斯卡矩阵，就可以快速获得任意的组合数了。

由于[n]的r子集有r个数，所以至少要做次操作。借助于这个办法，组合数序号的计算方法的时间复杂度：加减法次数seta(r)，其中seta表示与r同阶。

它可以被用在动态规划法求TSP之中，借助于它就能够实现一般参考书上所说的时间复杂度。TSP的具体实现见附录1。

附录---MATLAB代码

function [pmin,pvmin]=tspdp(D)

%TSPDP 旅行销售员问题（TSP）的动态规划（Dynamic Programming）算法的递推实现

% [pmin, pvmin] = tspdp( D )

% 输入参数：D --- 两两城市之间的距离矩阵，双精度二维数组

% 输出参数：pmin --- 最短路线双精度，一维行数组

% pvmin --- 最短距离，双精度数

% Example: [pmin,pvmin]=tspdp(rand(5))

% 注意：经分析，其时间复杂度为O(n*2^n)，也就是说n 每增大1，运行时间大致上变成

% 原来的2 倍。因此，n不能太大，当取在12以内时，速度很快。若用C++等实现,在20以

% 内都可以接受。

n=length(D);

pasmat=pascal(n+1);

fP=calfP(D,pasmat);

pvmin=inf;

for j=1:n-1

v=fP{n-1}(j,1)+D(j,n);

if pvmin>v

pvmin=v;

jmin=j;

end

pmin=zeros(1,n+1);

pmin(n:n+1)=[jmin, n];

C=1:n-1;

for j=n-1:-1:1

Csn=combineseqnum(C,n-1,j,pasmat);

I=find(pmin(j+1)==C);

pmin(j)=fP{j}(I,2,Csn);

C(I)=[];

end

%------------------------------------------------------------------------

function fP=calfP(D,pasmat)

n=length(D);

for k=1:n-1

fP{k}=zeros(k,2,pasmat(k+1,n-k));

end

for Csn=1:n-1

fP{1}(:,:,Csn)=[D(n,Csn),n];

end

for k=2:n-1

C=zeros(1,k);

Csn=0;

curi=1;

while curi

if C(curi)>=n-1-k+curi

curi=curi-1;

else

C(curi:end)=C(curi)+1:C(curi)+1+k-curi;

curi=k;

Csn=Csn+1;

S=C(2:k);

for I=1:k

CI=C(I); %后面要重复使用

Ssn=combineseqnum(S,n-1,k-1,pasmat);

vmin=inf;

for j=1:k-1

v=fP{k-1}(j,1,Ssn)+D(S(j),CI);

if vmin>v

vmin=v;

jmin=S(j);

end

fP{k}(I,:,Csn)=[vmin, jmin];

if I<k

S(I)=CI;

end

%-----------------------------------------------------------------------

function sn=combineseqnum(p,n,r,pasmat)

%COMBINESEQNUM 求{1,2,...,n}中抽取r个数构成的组合在所有组合（升序）按字典序排

% 序后所处的序号（从1开始编号）。

% sn = combineseqnum(p , n)

% 输入参数：p --- {1,2,...,n}的一个组合，用数值向量表示，行或列均可，要求按

% 升序排列

% n --- 元素的个数，即{1,2,...,n}中的 n

% r --- p中元素的个数

% pasmat --- 帕斯卡矩阵

% 输出参数：sn --- p在所有组合中的按字典序排序后的编号

% Example: sn=combineseqnum([1 3],4)

if r>1

sn=pasmat(r+1,n-r+1);

for I=1:r

nn=n-p(I);

rr=r+1-I;

if nn>=rr

sn=sn-pasmat(rr+1,nn-rr+1);

end

else

sn=p;

end

C++代码

// 求{1,2,...,n}中抽取r个数构成的组合在所有组合（升序）按字典序排序后所处的序号（从1开始编号）。 // 输入参数：//       n --- 元素的个数，即{1,2,...,n}中的 n//       p --- {1,2,...,n}的一个组合，要求按升序排列//       r --- p中元素的个数//       n_choose_k --- 帕斯卡三角形//  返回值:  p在所有组合中的按字典序排序后的编号int combineseqnum(const int n,const vector<int>& p,const vector<vector<int>>& n_choose_k){int sn(0);int r=p.size();if(r>1){sn=n_choose_k[n][r];int nn(0),rr(0);for(int k=0;k<r;++k){nn=n-p[k]-1;rr=r-k;if(nn>=rr)sn-=n_choose_k[nn][rr];}--sn;}else{sn=p[0];}return sn;}void get_n_choose_k(int n,vector<vector<int>>& n_choose_k){for(int i=1;i<=n+1;++i)n_choose_k.push_back(vector<int>(i,1));for(auto ir=n_choose_k.begin()+2;ir!=n_choose_k.end();++ir){auto ic=ir->begin()+1;auto icp=(ir-1)->begin()+1;for(;ic!=ir->end()-1;++ic,++icp)*ic=*(icp-1)+*icp;}}