c_c++刁钻问题各个击破之位运算及其实例(2)

位运算及其应用实例(2)

摘要

上一篇《C/C++刁钻问题各个击破之位运算及其应用实例(1)》受到不少网友的关注，这对我鼓励极大，首先感谢这些网友，特别要感谢几位回复的热心网友。

上一篇中我对位运算进行了简单介绍，并谈到了如何操作整数的位，比如将某位置0、置1、翻转、查询某位是否为1等，最后在这些基本的位操作上给出了3个位运算的应用实例。本篇是上一篇的续集，我将给出6个比较复杂一点的位操作，并对比较难以理解的位操作进行图文并茂的剖析，由于不想在一篇当中写太多内容，因此本篇中的这些位操作的实际应用案例我将在以后给出，即便是这样，本篇仍然非常重要，它是我们应用位运算来解决问题的基础。

上一篇中的四个基本位操作

1.        将expr的第n（n从0开始）位设置为1:  expr |= (1<<n);

2.        将expr的第n（n从0开始）位设置为0:    expr &= (~(1<<n));

3.        判断expr的第n（n从0开始）位是否为1：bool b = expr &(1<<n);

4.        翻转expr的第n（n从0开始）位：expr ^= (1<<n)；

本篇的8个较复杂的位操作

下面介绍本篇的重点：8个较复杂的位操作。要理解这些位操作并不容易，我将使用文字+图解的方式来描述，力求讲明白，需要说明的是，为了作图方便，我假设数据都是char类型(只有8个bit)，这些位操作对其他类型的数据同样适用。

1.       将最右侧的1翻转成0：x&(x-1)

假设x=01110100，那么x，x-1和x&(x-1)的二进制表示分别如下：

x:

0

1

1

1

0

1

0

0

x-1:

0

1

1

1

0

0

1

1

X&(x-1):

0

1

1

1

0

0

0

0

可以看出，x-1的功能是：将最右侧的1翻转了，并让其后的0变成了1，而保持了其他位不变。然后x&(x-1)就使得x的最右侧的1翻转成0。

该位运算在上一篇中被用来计算二进制中有多少个1，其思路是：不停的翻转右侧的1，知道将该数翻转成0为止。

2.       向右连续传播最右侧的1位：x|(x-1)

比如说x=00101000，那么x，x-1和x|(x-1)的二进制表示分别如下：

x:

0

0

1

0

1

0

0

0

x-1:

0

0

1

0

0

1

1

1

X|(x-1):

0

0

1

0

1

1

1

1

从上面的过程可以看出x|(x-1)使得x中最右边的1的右边的0都被1填充了，注意这不能理解成：翻转最右侧的连续的0，而应该理解成用最右侧的1填充了它右边的所有0位。或许你要问为什么，那么你假设x =00101001，那么x|(x-1)仍然等于00101001，它并没有将最右侧的两个0翻转！

3.       检查无符号数x是否是2的整数次幂：if((x&(x-1))==0)return true;

由1可知：x&(x-1)的作用是将最右侧的1翻转为0，假如翻转之后结果变成了0，则说明原来的数x的二进制表示中只包含一个1，那么它必定是2的整数次幂。这个简单，我就不图示了。记住:2的整数次幂跟2的整数次幂减1进行与运算的结果必然为0。

4.       检查无符号数x是否等于2的整数次幂减1：if((x&(x+1))==0) return true;

2的整数次幂减1再加1之后就等于2的整数次幂，于是可以用3的方法来判断，这也非常简单，不再图示。

5.       将右侧的连续1位串翻转成0位串，其他保持不变：((x|(x-1))+1)&x

比如x等于00101100，那么

x:

0

0

1

0

1

1

0

0

x-1:

0

0

1

0

1

0

1

1

X|(x-1):

0

0

1

0

1

1

1

1

(X|(x-1))+1

0

0

1

1

0

0

0

0

((X|(x-1))+1)&x

0

0

1

0

0

0

0

0

由2得知：x|(x-1) 使得x中最右边的1的右边的0都被1填充了；而(x|(x-1))+1 就使得x中那个连续的1位串和它右边的0位串都变成0，并且将连续的1位串的左边那位0变成了1，并保持其他位不变； (x|(x-1)+1)&x使得x中那个连续的1位串和它右边的所有位都置为0，而保持那个连续的1位串的左边保持不变，于是就实现了将最右边的连续的1位串翻转的功能。

文字解释绕来绕去的，非常拗口啊，没办法啊，这个关系本省就绕，希望不会把各位绕糊涂了。

6.       检查无符号整数x是否等于2的两个整数次幂之差：                                                                                                                   if((((x|(x-1))+1)&x)==0)==0) return true;

所谓2的两个整数次幂之差就是2^k-2^j，比如k等于6,j等于2，那么2⁶的二进制是：01000000,2²的二进制表示为00000100,2⁶-2²的二进制表示为00111100，由此可以看出2k-2j的特征是：二进制表示形式中从第j位到第k-1位都是1(从0开始数)，其他bit位都是0。

由上可知：通过位运算在保持其他bit位不被改变的情况下，将这些为1的bit位全部翻转为0，如果所得的结果等于0，那么原来的数就是一定是2的两个整数次幂之差！事实上5中已经介绍了((x|(x-1))+1)&x的功能就是将x的二进制表示中右侧连续的1位串翻转为0位串，因此只需要应用3计算((X|(x-1))+1)&x的值，然后判断它是否等于0即可，为了说明这个问题，我再图示演示了这一过程，这里的x等于00111100

x:

0

0

1

1

1

1

0

0

x-1:

0

0

1

1

1

0

1

1

X|(x-1):

0

0

1

1

1

1

1

1

(X|(x-1))+1

0

1

0

0

0

0

0

0

((X|(x-1))+1)&x

0

0

0

0

0

0

0

0

从上表看出，由于最后计算结果等于0，所以x就是两个2的整数次幂的差，其实x = 60 = 2⁶-2²。