素数算法

素数是这样的整数,它除了表示为它自己和1的乘积以外,无论他表示为任何两个整数的乘积。
素数算法：
1：是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到10，000）。第一个数是2，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在2 后面的是3，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是 5，然后往后每隔4个数删去一个，以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7，往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11，往后每隔10个数删一个；再下一个是13，往后每隔12个数删一个。就这样依法做下去。

但是编程我们一般不采用上面的方法，并不说这中方法计算机实现不了，或者说实现算法比较复杂。因为它更像一个数学推理。下面为通常所用算法：
设Ｎ=２^１２７-１是一个３８位数，要验证它是否为素数，有下面几个不同的方法：
1.遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个整数，是不是能整除Ｎ;(这是最基本的方法）
2.遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个素数，是不是能整除Ｎ;(这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道)
(以下为用于长数)
3.采用Rabin-Miller算法(1978 年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。 RSA的安全性依赖于大数难于分解这一特点。)；
4.AKS 算法（Agrawal、Kayal和Saxena）;
验算结果，假设计算机能每秒钟计算１亿次除法，那么
算法１要用４１３６年，算法２要用９３年，算法３只要不到１秒钟！

Rabin -Miller算法是典型的验证一个数字是否为素数的方法。判断素数的方法是Rabin-Miller概率测试，那么他具体的流程是什么呢。假设我们要判断n是不是素数，首先我们必须保证n 是个奇数，那么我们就可以把n 表示为 n = (2^r)*s+1,注意s 也必须是一个奇数。然后我们就要选择一个随机的整数a (1<=a<=n-1)，接下来我们就是要判断 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)*s)= -1（mod n）(0<=j如果任意一式成立，我们就说n通过了测试，但是有可能不是素数也能通过测试。所以我们通常要做多次这样的测试，以确保我们得到的是一个素数。（DDS的标准是要经过50次测试）
 采用Rabin-Miller算法进行验算
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数