图--图的存储结构

图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法。至于具体选择哪一种表示法，主要取决于具体的应用和欲施加的操作。
为了适合用C语言描述，以下假定顶点序号从0开始，即图G的顶点集的一般形式是V(G)={v₀，v_i，…，V_n-1}。

图的邻接矩阵表示法

1．图的邻接矩阵表示法
    　在图的邻接矩阵表示法中：
　① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系
　② 用一个顺序表来存储顶点信息

2．图的邻接矩阵(Adacency Matrix)
    　设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：

     

3．网络的邻接矩阵
    　若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
         
  

  其中：
      w_ij表示边上的权值；
      ∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。

 

4．图的邻接矩阵存储结构形式说明

  #define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义
  typedef char VertexType； //顶点类型应由用户定义
  typedef int EdgeType； //边上的权值类型应由用户定义
  typedef struct{
      VextexType vexs[MaxVertexNum] //顶点表
      EdeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
                    //邻接矩阵，可看作边表
      int n，e； //图中当前的顶点数和边数
   }MGragh；
  注意：
　    ① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。
    　 ② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。
    　 ③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。
    　 ④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n²)。

5．建立无向网络的算法。
  void CreateMGraph(MGraph *G)
    {//建立无向网的邻接矩阵表示
      int i，j，k，w；
      scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //输入顶点数和边数
      for(i=0;i<G->n；i++) //读人顶点信息，建立顶点表
        G->vexs[i]=getchar()；
      for(i=0；i<G->n；i++)
        for(j=0；j<G->n；j++) 
          G->edges[i][j]=0； //邻接矩阵初始化
      for(k=0；k<G->e；k++){//读入e条边，建立邻接矩阵
        scanf("％d％d％d"，&i，&j，&w)；//输入边(v_i,v_j)上的权w
        G->edges[i][j]=w；//无向图，所以边上的两个点之间没有方向性
        G->edges[j][i]=w；
       }
    }//CreateMGraph

    　该算法的执行时间是0(n+n²+e)。由于e<n²，算法的时间复杂度是0(n²)。

图的邻接表表示法 

    　图的邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。对于图G中的每个顶点v_i，该方法把所有邻接于v_i的顶点v_j链成一个带头结点的单链表，这个单链表就称为顶点v_i的邻接表(Adjacency List)。

1． 邻接表的结点结构
（1）表结点结构
    ┌────┬───┐
    │adjvex  │next  │
    └────┴───┘
    　邻接表中每个表结点均有两个域:
　① 邻接点域adjvex
　　存放与vi相邻接的顶点v_j的序号j。
　② 链域next
　　将邻接表的所有表结点链在一起。
  注意：
　    若要表示边上的信息(如权值)，则在表结点中还应增加一个数据域。

（2）头结点结构
    ┌────┬─────┐
    │vertex  │firstedge │
    └────┴─────┘
    　顶点v_i邻接表的头结点包含两个域：
　① 顶点域vertex
　　存放顶点v_i的信息
　② 指针域firstedge
　　v_i的邻接表的头指针。
  注意：
　    ① 为了便于随机访问任一顶点的邻接表，将所有头结点顺序存储在一个向量中就构成了图的邻接表表示。
    　② 有时希望增加对图的顶点数及边数等属性的描述，可将邻接表和这些属性放在一起来描述图的存储结构。

2．无向图的邻接表
    　对于无向图，v_i的邻接表中每个表结点都对应于与v_i相关联的一条边。因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。将无向图的邻接表称为边表。

注意：
    n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。

3．有向图的邻接表
    　对于有向图，v_i的邻接表中每个表结点都对应于以v_i为始点射出的一条边。因此，将有向图的邻接表称为出边表

注意：
    n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。

4．有向图的逆邻接表
    在有向图中，为图中每个顶点v_i建立一个入边表的方法称逆邻接表表示法。
    入边表中的每个表结点均对应一条以v_i为终点(即射入v_i)的边。

注意：
    　n个顶点e条边的有向图，它的接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。

5．邻接表的形式说明及其建表算法
（1）邻接表的形式说明 
     typedef struct node{//边表结点
　　　　   int adjvex； //邻接点域
　　　　   struct node *next； //链域
　　　　　//若要表示边上的权，则应增加一个数据域
　　　}EdgeNode;
     typedef struct vnode{ //顶点表结点
　　　　   VertexType vertex； //顶点域
　　　　   EdgeNode *firstedge；//边表头指针
　　　 }VertexNode；
     typedef VertexNode AdjList[MaxVertexNum]；//AdjList是邻接表类型
      typedef struct{
　　　    AdjList adjlist；//邻接表
　　　    int n，e； 图中当前顶点数和边数 
　　　}ALGraph； //对于简单的应用，无须定义此类型，可直接使用AdjList类型。

(2)建立无向图的邻接表算法
  void CreateALGraPh(ALGrahp *G)
    {//建立无向图的邻接表表示
      int i，j，k；
      EdgeNode *s；
      scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //读人顶点数和边数
      for(i=0；i<G->n；i++){//建立顶点表
        G->adjlist[i].vertex=getchar()； //读入顶点信息
        G->adjlist[i].firstedge=NULL；//边表置为空表
       }
      for(k=0；k<G->e；k++){//建立边表
         scanf("％d％d"，&i,&j)；读入边(v_i，v_j)的顶点对序号
         s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))； //生成边表结点
         s->adjvex=j; //邻接点序号为j
         s->next=G->adjlist[i].firstedge；
         G->adjlist[i].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点v_i的边表头部
         s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))；
         s->adjvex=i; //邻接点序号为i
         s->next=G->adjlist[j].firstedge；
         G->adjlistk[j].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点v_j的边表头部
        }//end for 
   }CreateALGraph

    　该算法的时间复杂度是O(n+e)。
  注意：
　    ① 建立有向图的邻接表更简单，每当读人一个顶点对序号<i,j>时，仅需生成一个邻接序号为j的边表结点，将其插入到v_j的出边表头部即可。
    　② 建立网络的邻接表时，需在边表的每个结点中增加一个存储边上权的数据域。