由合并排序算法谈如何理解递归

 

今天早上突然来了兴致，拿起了尘封多月的《算法导论》翻看起来，正好看到合并排序一章，看完介绍后自己动手编程实现，经过简单的调试纠错后程序正确执行，但是细细一品其中用到的递归知识，感觉糊里糊涂，有种只知表面不知根源的感觉。上网查阅相关资料发现有部分朋友跟我有同样地感受，不知道递归的原理究竟是什么，经过我苦思冥想后，决定用一种通俗易懂但也许并不符合科学的方式理解递归，写这篇文章的目的就是和大家一起交流关于递归的经验，共同进步。

合并排序的具体代码就不在这里给出了，不清楚的朋友可以查阅相关资料。这个算法有关递归的一段程序如下（伪代码）：

Merge_sort(A,p,r)

{

         If p < r

                   Then q ← 下取整[(p + r) / 2]

                     Merge_sort(A,p,q)

                     Merge_sort(A,q+1,r)

                     Merge(A,p,q,r)

}

其中，Merge_sort是分解过程的函数，Merge是合并过程的函数；A存放待排序数列，p是操作序列起点序号，r是操作序列终点序号。

我们用一种树的概念来理解，由于这个递归是双向的，类似于二叉树。递归一定有一个终止条件，不到达这个终止条件递归是不会停止。如果到达了终止条件，递归就会返回上一层，利用上一层的变量进行相关操作。如果上一层还有其他路径的递归，则按照其他路径一路递归到底，然后返回，在逐层返回的过程中，在每层利用该层的变量完成相关的操作。说了一些晦涩难懂的文字，想必大家一定看着头晕，下面结合实例予以进一步的解释：

从图中可以看到，假如我们一开始的函数是merge_sort(A,0,2)，那么程序就会一直将merge_sort(A,p,r)执行到底，即merge_sort(A,0,2)→merge_sort(A,0,1)→merge_sort(A,0,0)，直到执行到merge_sort(A,0,0)时，满足推出条件，这是程序返回上一层（图中所示2层），这一层的参数是p=0,r=1,q=0，这一层下一条语句是merge_sort(A,q+1,r)，即merge_sort(A,1,1)，其实这条语句在图中反应的就是由2层走右侧路径到达3层，由于满足退出条件所以再次返回2层，接下来执行2层的最后一条语句merge(A,p,q,r)，即merge(A,0,0,1)。执行完这条语句后，左侧2层的任务结束，返回一层，一层的变量是p=0,r=2,q=1。由于1层已经执行完成了第一条语句，所以1层要执行第二条语句，即merge_sort(A,q+1,r)，即merge_sort(A,2,2)，满足退出条件，再次返回1层，接下来执行1层的merge(A,0,1,2)后，程序结束，完成合并排序的功能。

    由于合并排序有两个递归函数，所以该程序的执行路径类似于二叉树的遍历过程。其实，好多程序只涉及到一个递归，为了加强理解，我们再举一例：

         考虑如下递归程序，最终的输出是多少？

void a(int num)

{

     if(num > 0)

     {

         num -- ;

         a(num) ;

         printf("%d " , num);

     }

}

main()

{

      a(4) ;

      system("pause");

      return 0 ;

}

输出结果：0 1 2 3

按照之前所说，我们先画出递归树，写出每一层的变量值，按照先递归到底再逐层返回的步骤分析：

由图分析，当执行a(4)时，会直接递归到底a(4)→a(3)→a(2)→a(1)→a(0)，递归到a(0)后由于满足递归退出条件所以逐层向上返回，由于每一层的第一（num--）、第二（a(i)）语句已经执行完毕，所以每当返回到某一层是，就会根据该层的num值打印出相应结果，所以最终的输出结果时0 1 2 3。

看了两个例子，大家是不是已经有了一些想法啊，浣熊在这里总结一下：如果遇到递归，如果没有达到递归条件，就要一直递归到底；递归到底后，逐层返回，到每一层时，利用该层的变量值去执行递归语句的下一条语句，直到返回到根节点的一层，程序结束。

好啦，总之我现在对递归的工作过程有了深入的理解，不知道你看过文章后是否有了一些想法呢，如果有的地方看不懂，随时欢迎给我留言，我们一起进行讨论学习，加油哦。