解读御坂美琴みさか的菱形打印程序——谈如何学习算法

百度C语言吧主御坂美琴みさか的《C语言循环的小艺术》很久以前我就复制下来收藏了，不过一直没有研究。昨天Uval的AOAPC I: Beginning Algorithm Contests (Rujia Liu)做到Triangle Wave的时候又看到了这种对称图形，虽然用那种“分段写”的方法也顺利AC，但是既然知道也许有更好的方法自然要去探索一下，于是有了这篇解读。

不过这篇解读最只适用于看了很久原文也不知其解的人，如果你有把握自己看懂，那最好还是自己先搞清楚，这样印象更深刻，再回来看本文进行对照最好。

先看一下《C语言循环的小艺术》中的原文：

菱形打印

很多人，打印菱形在控制台的思路是，把菱形上下拆分，分两段很接近的代码来打印，
其实这样代码很不好看，并且不好阅读
我们知道，要打印的图案是这种：
    *
   ***
  *****
   ***
    *
满足上下对称，左右对称，那么，你能不能也弄一个二重循环，同样是对称的？
很简单，首先我们要抛开习惯性思维，for循环不一定要在0开始或者0结束
我们可以让循环从 -c 到 c ，这样不就轻松产生一个对称的吗？（只要取个绝对值）
我们把菱形的中心看成是坐标0,0，那么，会输出星号的坐标，是 |x| + |y| <= c 的点

由此可得

#include <stdio.h>#define IABS(x) ( (x) >= 0 ? (x) : -(x) ) //定义一个计算绝对值的宏void print(int size) // size是这个菱形的半径，直径会是size * 2 + 1{    int x, y;    for (y = -size; y <= size; y++)    {        for (x = -size; x <= size; x++)        {            if ( IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size                putchar('*');            else                putchar(' ');        }        putchar('\n');    }}int main(){    print(5); //输出一个半径为5的菱形    getchar();    return 0;}

如果我需要得到空心菱形呢？非常非常简单，因为菱形边界上的点，满足的是|x| + |y| == c
所以，我们只要把那个if里的小于等于号，改成双等于号 == 就可以了

再类似地，如果我不要*号，我要最外层是字母A，然后里一层是B这样呢？即：
     A
   ABA
 ABCBA
   ABA
     A
那么，我们只要在putchar那里做一个字符计算：

void print(int size) // size是这个菱形的半径，直径会是size * 2 + 1{    int x, y;    for (y = -size; y <= size; y++)    {        for (x = -size; x <= size; x++)        {            if ( IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size                putchar( 'A' + (size - IABS(x) - IABS(y)) ); //留意这里的计算方法            else                putchar(' ');        }        putchar('\n');    }}

类似地，如果我们要打印的是X形：
  *   *
   * *
    *
   * *
  *   *
同样可以利用这个思路完成，这题就作为思考题吧

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其实include stdlib.h后可以直接用abs()- -，而且严格来说int main(void)是最正确的，当然这些不是重点。

拿到一个算法程序，最简单的分析方式就是先跟踪看一下运行过程，由于size理论上可以取任意值，我们只要弄懂一种情况就等于弄懂了所有情况，所以为了简化分析先size=3，看一下第一次大的循环：

y=-3
x=-3 ' '
x=-2 ' '
x=-1 ' '
x=0  '*'
x=1  ' '
x=2  ' '
x=3  ' '

到这里我们会发现，开始|x|+|y|>size，所以前面输出了三个' '，然而由于|x|渐渐减小，之后输出了一个'*'，由于|x|又渐渐增大，又输出了三个' '，这样就巧妙地完成了左右的对称。

又由于下一次循环|y|比这次循环小1，所以就“更容易”输出'*'，由于|y|也有对称的特性，所以完成了上下的对称。

至此，我们大概就对为什么可以上下左右对称有了一个感性的认识，不过恐怕更多的是对这些代码的惊叹：为什么这样写就能巧妙地做到这些？IABS(x) + IABS(y) <= size这个表达式也太神奇了！御坂美琴みさか是怎么想到的？！

其实我们上来看程序的运行过程，只是为了从运行过程中试着找到入口去探索这个算法的本质是什么，这是一个从现象到本质的过程，而不能被现象吓到了。

实际上御坂美琴みさか在文中已经写到了：

我们把菱形的中心看成是坐标0,0，那么，会输出星号的坐标，是 |x| + |y| <= c 的点

那么程序的原理实际上就是通过枚举{(x,y), |x| <= size, |y| <= size, x, y ∈Z}中的点（即下图中红色部分，包括边界），再通过一个式子来确认合法点，如果合法，就输出'*'，反之输出' '：

 

那么我们又有疑问了，为什么是|x| + |y| <= c？

我们来证明一下右上角的红色三角区域（包括边界）的所有点(x,y)（x，y∈N），x+y<=size：

通过观察，我们可以发现y的取值范围随着x在改变，至于“怎么改变”则与size有关，那么我们可以想一下，如果我们把其中的y用size和x表示，这个不等式不就容易得证了吗？

那么我们可以得知y∈[0, size-x]（x≠size），取两边分别讨论，当y=0时，x+y=x<=size，当y=size-x时，x+y=x+size-x=size，当y∈(0, size-x)（x≠size）时，x+y<size。综上所述，x+y<=size，证毕。

其实即使你不会证明，也可以当作公式默认下来，这都无关紧要。

于是我们就能自己写出|x| + |y| <= c这个式子了，也就知道了这个算法的本质，现在一切都掌握在我们手中，甚至我们可以对原程序做一点改动：

由于是枚举(x,y)∈{(x,y), |x| <= size, |y| <= size, x, y ∈Z}，而且有绝对值的对称做保障，那么无论x、y谁在外面只要全枚举到就行了，所以也可以把x放在外层循环：

for (x = -size; x <= size; x++){        for (y = -size; y <= size; y++)        {            if (IABS(x) + IABS(y) <= size) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size                putchar('*');            else                putchar(' ');        }        putchar('\n');}

观察原程序的输出，我们可以发现由于对称的缘故，程序输出的右侧多输出了我们看不见的空格，我们也可以不输出它：

if (IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size
    putchar('*');

else if (x < 0)
    putchar(' ');
else
    break;

虽然上述改动没有太大意义，但是说明了如果我们掌握了算法的本质，我们就掌握了全局，那么就可以进行任何改动的道理。

那么思考题也很简单了（自己先试着写写看）：

for (x = -size; x <= size; x++){        for (y = -size; y <= size; y++)        {            if (IABS(x) == IABS(y) && IABS(x) <= size) // 正比例函数性质嘛，|y|=|x|                putchar('*');            else                putchar(' ');        }        putchar('\n');}

于是我们开始思考，御坂美琴みさか是如何想到利用坐标的方法来处理这个问题的？

很明显御坂美琴みさか与我们的区别就是，我们只知道傻傻地去找规律，而御坂美琴みさか则能换个角度，通过数学的思想来解决问题，这就是我们与御坂美琴みさか的差别就在于，我们没有用数学的思想解决问题的意识，为什么没有意识？说明我们的数学素养不够，不善于发现数学问题。

从御坂美琴みさか身上我们可以学到：

1. 避开思维定势，换个角度思考问题（这点与《孙维刚初中数学》不谋而合，建议想学好数学的朋友阅读《孙维刚初中数学》和《孙维刚高中数学》这套书）。

2. 要善于发现数学问题，多加利用数学思想，很多时候利用数学可以简洁漂亮地解决问题，并有很大高的灵活性。

同时我们要学会学习他人算法程序的方法：

1. 可以先看一下表面现象，比如跟踪一下，其中有一些技巧，比如缩小测试数据（例如上面size=3）。

2. 通过表面现象找到切入点，去分析这个算法的本质。

3. 学到本质后，试着去改动一下原程序，寻找另一种实现方式，或者去尝试优化一下甚至改动一些无关痛痒的东西。很多时候，算法是算法，实现是实现。

实际上《算法竞赛入门经典》勘误表中的：

4. 71页的那个j % i也许有点不好理解，如果你理解透了会发现改成j-i也是没问题的……

也是通过这种方式得出的。

所以学习算法，千万不要去背代码，背代码只是去背实现，隔靴搔痒而已，而是应该去知道这个算法是怎么一回事，知道怎么回事后实现就能写出，信不信由你，反正我是信了- -。

现在再看Triangle Wave，是不是也很简单呢？