强连通图的算法

 

有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min{   DFN(u),   Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点   DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

tarjan(u){DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过tarjan(v)                  // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根repeatv = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define N 100#define M 100struct Edge{    int v;    int next;};Edge edge[M];//边的集合int node[N];//顶点集合int instack[N];//标记是否在stack中int stack[N];int Belong[N];//各顶点属于哪个强连通分量int DFN[N];//节点u搜索的序号(时间戳)int LOW[N];//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)int n, m;//n：点的个数；m：边的条数int cnt_edge;//边的计数器int Index;//序号(时间戳)int top;int Bcnt;//有多少个强连通分量void add_edge(int u, int v)//邻接表存储{    edge[cnt_edge].next = node[u];    edge[cnt_edge].v = v;    node[u] = cnt_edge++;}void tarjan(int u){    int i,j;    int v;    DFN[u]=LOW[u]=++Index;    instack[u]=true;    stack[++top]=u;    for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)    {        v=edge[i].v;        if (!DFN[v])//如果点v没被访问        {            tarjan(v);            if (LOW[v]<LOW[u])                LOW[u]=LOW[v];        }        else//如果点v已经被访问过            if (instack[v] && DFN[v]<LOW[u])                LOW[u]=DFN[v];    }    if (DFN[u]==LOW[u])    {        Bcnt++;        do        {            j=stack[top--];            instack[j]=false;            Belong[j]=Bcnt;        }        while (j!=u);    }}void solve(){    int i;    top=Bcnt=Index=0;    memset(DFN,0,sizeof(DFN));    memset(LOW,0,sizeof(LOW));    for (i=1;i<=n;i++)        if (!DFN[i])            tarjan(i);}int main(){    freopen("in.txt","r",stdin);    int i,j,k;    cnt_edge=0;    memset(node,-1,sizeof(node));    scanf("%d%d",&n,&m);    for(i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&j,&k);        add_edge(j,k);    }    solve();    for(i=1;i<=n;i++)        printf("%d ",Belong[i]);}