DP(最长公共子串问题)
来源:互联网 发布:淘宝 userid 加密算法 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 18:55
最长公共子串问题:一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。给定两个序列X和Y,当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时,称Z是序列X和Y的公共子序列。最长公共子串就是求给定两个序列的一个最长公共子序列。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
问题分析:
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B的公共子序列,是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列,并一一检查其是否又是B的子序列,并随时记录所发现的子序列,最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个 最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列 和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法,具体说明如下。
定义c[i][j]为序列“a0,a1,…,ai-2”和“b0,b1,…,bj-1”的最长公共子序列的长度,计算c[i][j]可递归地表述如下:
(1)c[i][j] = 0 如果i=0或j=0;
(2)c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 如果i,j>0,且a[i-1] = b[j-1];
(3)c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0,且a[i-1] != b[j-1]。
按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1],故可以从c[m][n]开始,跟踪c[i][j]的产生过程,逆向构造出最长公共子序列。
问题分析:
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B的公共子序列,是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列,并一一检查其是否又是B的子序列,并随时记录所发现的子序列,最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个 最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列 和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法,具体说明如下。
定义c[i][j]为序列“a0,a1,…,ai-2”和“b0,b1,…,bj-1”的最长公共子序列的长度,计算c[i][j]可递归地表述如下:
(1)c[i][j] = 0 如果i=0或j=0;
(2)c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 如果i,j>0,且a[i-1] = b[j-1];
(3)c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0,且a[i-1] != b[j-1]。
按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1],故可以从c[m][n]开始,跟踪c[i][j]的产生过程,逆向构造出最长公共子序列。
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