线性代数入门(3) – 几何

看了这一部分的标题，大家是不是觉得很奇怪，不是说介绍线性代数的吗？怎么搞了一个几何做标题？大家没有看错，这一部分就是要谈谈几何，但是和我们小学初中学的几何有些不同，我们现在要用计算的方式来处理几何问题，以前总是添不对辅助线解不出几何题的朋友就不用担心了，这里的很多东西都可以硬算算出来。

我们还是从简单的问题开始，以前学几何肯定是从平面几何学起，那我们也从平面开始。

为了用计算的方式解决几何问题，就需要用一些“量”来表示几何。最简单的几何体是零维的——点，只要有位置信息就可以确定一个点。为了有位置，我们就需要一个基准，这就是坐标系。相信大多数人都学过平面直角坐标，一根x轴和一根y轴垂直，相交的地方是原点，原点的地方坐标是(0,0)，平面上的所有点都有一个唯一的坐标(x,y)。也就是说，在平面上，两个数就可以确定一个唯一点，或者换一句话说，两个数可以和一个点等价起来。

我们现在把原点和平面上的一个点用一条线段连接起来，然后加上一个箭头，表示这个线段的起点是原点，而终点是我们指定的一个点。这样，我们就得到了一个有方向的量，称为向量。不知大家还记不记得上一节中提到过的用于表示线性方程组等号右边的值，我们称之为向量。事实上，这两个向量是同一个东西，只是一个是从代数的角度去理解，而另外一个是从几何的角度去理解。如果现在不明白这两者之间的关系也没有关系，在后面的部分我们会逐渐看到两者的联系，就会明白为什么我们用同一个名字去命名它们了。

事实上，向量并不要求它从原点开始，在向量上有两个要素，一个是方向，另一个是长度。如果两个向量方向相同，长度相等，那么这两个向量就是相等的。有一个特殊的向量，就是长度为0的向量，它并没有一个确定的方向，但这并不重要，因为一个长度为0的线段，我们可以认为是任意朝向的，所以它既可以和任意向量平行，也可以和任意向量垂直。

由于向量的起点并不重要，为了用一个方便的形式表示向量，我们可以把向量的起点都移到原点。这样，我们用这个起点为原点向量的终点就可以唯一表示这个向量。我们刚才看到的，平面上每一个点都有一个唯一的坐标(x,y)，我们也就可以用这个“坐标”来表示向量。也就是说，我们用两个数来表示平面上的一个向量。我们可以用中括号把这两个数括起来，比如说从原点到(8,24)的向量，我们就可以表示成[8 24]，当然，8和24横过来写还是竖过来写对向量的含义都没什么影响，我们就给它们取个名字，横过来的叫“行向量”，竖过来的叫“列向量”，这仅仅是为了形式上的区分而已，并没有什么实质上的区别。

让我们现在来考虑稍微复杂一点的情况。我们现在生活的空间并不是平面，而是立体的，简单的来说，需要在平面的基础上再加入一个高度。如果平面上的坐标是x轴和y轴，我们就再加入一条和x轴y轴都垂直的z轴，就可以表示这样一个三维的空间。这样，空间中一个点就可以用三个数来表示(x,y,z)，当然我们也可以在三维空间里定义向量，和平面上的情况一样，我们自然也就需要三个数来确定一个三维空间中的向量，写成[x y z]。刚才由两个值确定的向量我们称为2维向量，三维空间里由三个值确定的向量自然就称为3维向量。

接下来让我们回头看一下向量的要素：方向和长度。我们就首先从长度开始讨论。为了确定向量的长度，我们就需要计算从原点到任意点的距离。在平面上，很简单，根据勾股定理就可以得到向量的长度。假设这个点的坐标是(x,y)，要计算(x,y)到原点的距离，只需要从(x,y)点向x轴和y轴都做一条垂线，就可以看到从原点到(x,y)的线段恰好是一个矩形的对角线，矩形的长和宽分别是x和y，所以我们就得到这个向量的长度是x2+y2−−−−−−√。

让我们再向前走一步，来到三维空间。如果能想象出来，其实从(x,y,z)点到原点的线段恰好是一个立方体的大对角线，这个立方体的三条边长度是x、y和z。如果想象不出来，也没关系，我们直接把二维的结果推广一下，用一个相同的形式，这个向量的长度是x2+y2+z2−−−−−−−−−−√。

向量的方向可以从角度的方面进行讨论。我们知道，两条直线如果不平行，那就会有一个相交的角度，所以两个向量也会有一个交角。不过我们打算把这个话题留到后面的部分中去讨论。

我们在这里只引入一个概念：单位向量。很简单，就是长度是1的向量。如果在二维平面上，我们可以想象，如果把这些向量的起点放在原点，那它们的终点恰好是以原点为圆心，以1为半径的一个圆周。对于每一个向量（除了0向量），我们都可以找到一个和它方向相同，但长度为1的向量，这个过程我们叫做“单位化”，有点抛弃向量的长度而只考虑方向的意思。这个操作非常简单，先得到原向量的长度，然后把每一个坐标都除以这个长度就可以了。举一个例子来说吧：

向量a=[34]

向量的长度l=32+42−−−−−−√=5

单位化以后的向量a1=[3/54/5]

简单吗？

让我们回顾一下，这一部分其实就介绍了一下几何意义上的向量，以及这个向量用坐标表示之后的一些特性。关键就在于，坐标表示、长度、方向。