多校第6场 HDU 3893&&JLU Drawing Pictures（数位DP变形，矩阵连乘）

题目的要求是用1-6六种颜色排成一列
而且必须对称。相邻不同色。不出现123456

可以肯定的是n偶数的时候必然无解，
因为最中心两个无法满足相邻不同色的要求
 
对于n奇数的情况因为是对称考虑前n/2+1的部分
这部分必然满足相邻不同色，不出现123456
尤其要注意的是不能出现654321
同时满足这些条件的排列对称过去也必然满足题目条件
 
这很显然可以用DP来解。
令D[i,x]表示长度为i以x结尾的方案数
其中x=1,2,3,4,5,6,12,123,1234,12345,65,654,6543,65432,
 
则有如下递推式
D[i,x]=sum(D[i-1,y]) x=2...5 y=1...6,y!=x
D[i,1]=D[i-1,2]+...+D[i-1,6]-D[i-1,65432]
D[i,6]=D[i-1,1]+...+D[i-1,5]-D[i-1,12345]
D[i,12]=D[i-1,1]
D[i,123]=D[i-1,12]
D[i,1234]=D[i-1,123]
D[i,12345]=D[i-1,1234]
D[i,65]=D[i-1,6]
D[i,654]=D[i-1,65]
D[i,6543]=D[i-1,654]
D[i,65432]=D[i-1,6543]
 
这样可以递推求解了。但是巨大的n使得简单的递推必然超时
考虑到这是线性递推式我们可以使用矩阵乘法求解
也就是说把DP的转移方程写成矩阵的形式，然后利用矩阵的快速幂计算
这样算法的复杂度为(14^3*logn)

最后要注意，因为矩阵中有负数，正常来讲最后答案一定是正的，但是在取模时正的数可能变成比负的小的数，会出现负解，所以要在最后加个模数。

#include <cstdio>#include <cstring>const int maxn=14;const long long mod=112233;struct Matrix{    long long mat[maxn][maxn];}A,B,E,K;void debug (const Matrix &a){    for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)     for (int j=0 ; j<maxn ; ++j)     printf("%lld%s",a.mat[i][j],j==13?"\n":"  ");}Matrix operator * (const Matrix & m1,const Matrix & m2){    Matrix res;    for(int i=0;i<maxn;i++)        for(int j=0;j<maxn;j++)        {            res.mat[i][j]=0;            for(int k=0;k<maxn;k++)            {                res.mat[i][j]+=m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j];            }            res.mat[i][j]%=mod;        }    //debug(res);    //puts("");    return res;}void init(){    memset (A.mat , 0 , sizeof(A.mat));    memset (E.mat , 0 , sizeof(E.mat));    for (int i=0 ; i<6 ; ++i)     for (int j=0 ; j<6 ; ++j)     {         if(i!=j)A.mat[i][j]=1;     }    A.mat[0][13]=-1;    A.mat[5][9]=-1;    A.mat[6][0]=1;    A.mat[7][6]=1;    A.mat[8][7]=1;    A.mat[9][8]=1;    A.mat[10][5]=1;    A.mat[11][10]=1;    A.mat[12][11]=1;    A.mat[13][12]=1;    for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)     E.mat[i][i]=1;} int main (){    init ();    int n;    //freopen ("input.txt","r",stdin);    //freopen ("output.txt","w",stdout);    while (~scanf("%d",&n))    {        if(!(n&1))        {            printf("0\n");            continue;        }        n=(n-1)>>1;                /*debug(A);        puts("");        debug(E);*/        //printf("%d\n",n);        for (B=A,K=E; n ; n>>=1 , B=B*B)if(n&1)K=B*K;        debug(K);        int ans=0;        for (int i=0 ; i<6 ; ++i)         for (int j=0 ; j<6 ; ++j)        ans=(ans+K.mat[i][j])%mod;        printf("%d\n",(ans+mod)%mod);    }    return 0;}