数学：确定性的丧失---第十五章 自然的权威

发信人: paradax (秀树*冬眠中。。。), 信区: Philosophy
标  题: 数学：确定性的丧失(16)
发信站: 北大未名站 (2002年10月23日22:41:30 星期三), 转信



第十五章  自然的权威





我祈祷，

我知道，自然永远不会背叛

那热爱着她的心……

——威廉·华兹华斯



数学家们能够从许多对立的方面推出新的结果，因为无法从事物本身判断孰是孰非
。其中，最重要的原因自然是数学的产生和发展以及数学对科学的作用，这是一种
传统的、仍然是最无可非议的原因。人们现在知道数学基础的不确定性以及对于数
学逻辑的疑问即使不能够被解决，也可以通过加强它在自然上的应用来回避，用爱
默生（Ralph Waldo Emerson）的话说，就是让我们“用物质为思维营造基地”。
在先验的基础上，我们不能断言由数学定理产生的结果必定可以直接运用；我们也
不能断言，如果将其与合理的物理原理一同使用时，从这些原理中产生的演绎推理
可以导致正确的物理结果。但是，应用可以提供一个实用的检验标准，对于那些反
复推出正确结果的定理，人们使用它们的信心将会逐步增强。比如说，如果选择公
理能在连续的使用中始终得到合理的物理结果，那么对它的疑虑也就自然消除了。


从历史上看，人们求助于应用似乎并不像当今的数学家们那样彻底。概念和公理来
自于对自然界的观察，甚至逻辑的规律现在也被普遍认为是经验的产物。那些引发
定理的问题，甚至是关于证明方法的提示也都来自于自然界。至少到了75年前，由
公理推导出的结果的价值才由物理世界的肯定而得以证实。仅通过数学的应用来判
断其正确性而言，当然谈不上绝对的检验。一个定理也许在n次情况下都是对的，
但却会在第（n＋1）次情况下是错误的。一次差异将使定理不成立。但我们可以修
正它以保证使用的正确性，历史上已经做到了这一点。

J·穆勒(John  Stuart Mill)提倡数学的经验基础和用经验来检验数学。他承认数
学要比许多物理科学更为普遍，但“证实”数学正确性的则是因为其命题比起其他
物理科学的定理来，已在更大程度上得以检验和肯定。这样一来，人们便开始错误
地认为数学定理与其他科学的假设和定理有质的不同，数学定理被认为是确定的，
而物理定理则被认为只是由经验所证实的。

穆勒将其主张建立在哲学的基础上，这是在现代关于数学基础的论战开始前很久的
事。多由于这一原因，许多近代和当代的基础研究工作者们成了实用主义者。正如
希尔伯特所说：“从他们的成果中你可以了解他们。”希尔伯特在1925年又说：“
在数学中和在其他地方一样，每个人都遵守成功这个最高法庭的判决。”

莫斯托夫斯基（Andrzej Mostowski）在基础研究中表现得突出而活跃，他赞同希
尔伯特的观点，在1953年波兰举行的一次会议上，他说：

这种唯一贯穿始终的观点，倒不如说是一种假设：数的概念——不仅是自然数，也
包括实数——的源泉和最终存在的理由来自于经验和实际运用。他不但与正常人的
理解力相符合，而且与数学的传统相符合。在经典数学领域所需要的集合论的概念
中，情形也是这样。

莫斯托夫斯基更进一步说，数学是一门自然科学，其概念和方法均起源于经验，那
些试图建立数学而忽视它在自然科学中的本源、忽视它的运用、甚至忽视它的历史
的努力都注定会失败。

也许更令人惊奇的是魏尔这名直觉主义者也赞成通过在自然界中的运用来判断数学
的合理性。魏尔对数学物理做出了大量的贡献，尽管他坚决支持直觉原理，但却不
愿因为坚持这些原理而牺牲有用的结果。在《数学与自然科学的哲学》（1949年）
中，他勉强承认说：

启发式论据以及其后爱因斯坦广义相对论中的系统结构，或者海森堡-薛定谔的量
子力学是多么令人信服并接近事实啊！一种真正的数学应该和物理学一样被当作是
真实世界的理论结构的分支，并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的
扩展，就如同对待物理学的一样。

毫无疑问，魏尔提倡将数学作为一门科学来对待。数学定理和物理学定理一样也可
能是尝试性的，并无把握。它们也许还须改造，但是，是否与实际相符是检验其合
理性的可靠标准。卡瑞（HaskellB.Curry）作为一名著名的形式主义者在这方面走
得更远，在其《数学逻辑的基础》（1963年）中，他说道：

数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的
或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中
，我们并没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够
作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，
我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学
原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。为什么我们在未来的日子里不能这样做呢
？

奎因（Willard Van Orman Quine）是一位活跃的逻辑学者，他在企图简化罗素-怀
特海的原理上做了许多无用功。他也欣然满足于物理合理性，至少现在是这样。在
一本名为《现代逻辑的哲学意义》的集子中，有他一篇1958年的文章，他写道：

我们将采用看待自然科学的理论部分的方式来看待集合论与整个数学。这些真理或
假设与其说是为纯粹的推理所支持，还不如说是对自然科学中经验数据的组织所做
的间接的、系统的贡献。

对形式主义和集合论做了基础性贡献的冯·诺伊曼也致力于采取同样的方法打破现
有僵局。在一篇著名的文章《数学家》（见B·罗伯特的《思维的创造》，1947年
）中，他认为尽管几个基础学派都没能证明经典数学的正确性，但大多数数学家还
是照样使用它：

当所有的经典数学都产生了既优雅又实用的结果后，尽管仍然不能绝对确保其可靠
性，但它至少已立足于一个像电子的存在那样合理的基础上了。因此，如果你想要
接受科学的话，你最好还是接受数学的经典体系。

然而，数学的地位并不比物理学强多少。

即使是罗素，他虽然在1901年宣称数学真理、逻辑和物理的大厦是坚不可摧的，但
却在1914年的一篇短文中承认“我们关于自然的几何知识是人为的而非先验的。”
这并不是仅从逻辑中得到的结论，在其《原理》第二版中，他进一步承认：逻辑和
数学就像麦克斯韦电磁理论方程一样可信，“因为人们已看到了某些逻辑结果的真
实性。”

也许更令人惊奇的是哥德尔在1950年说的一段话：

被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能……
。在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基
础都是解释性的，而非基础性的。就好像在物理中公理的实际作用是解释该系统中
定理所描述的现象，而不是为这些定理提供一个真正的基础。

这些领袖人物都意识到，试图建立一个可普遍接受的、逻辑上合理的数学体系的努
力已经失败了。数学是一种人类活动，它受制于人类的各种弱点和过失。除了推理
上的因素以外，任何形式上的逻辑的解释只是一种伪数学，一种幻想，甚至是一种
神话。

其他许多著名的基础工作者们把检验数学合理性的方法作为一种实用的方法，数学
的应用就算不能绝对地，也可稳固地确保数学本身。即使是在需要偶尔修正的地方
也一样如此。正如华兹华斯所说：“我们的思想永远只能建立在自然的坚实基础之
上。”

面对实用的检验标准，即强调数学在科学中的运用，基础论者似乎已欲放弃自己的
原理和信念。考虑到数学的不合逻辑的发展（第五章至第八章），几个世纪以来的
数学家们怎么会信仰数学呢？他们认为自己已经证明了一些结论，却没有认识到他
们的证明是错误的。但是他们确实知道并无逻辑支持着负数、无理数、复数、代数
或微积分，他们依靠的是应用。

求助于科学应用，或者说经验证据是值得注意的。欧几里得派理想地假设，从本身
是真理的公理开始，经过有效的推理即可推导出进一步的真理。而以物理应用为依
据则颠倒了数学的整个概念，如果采用演绎的方法，那么尽管这些公理未必是能得
出结论的公理，但至少公理自身是合理的，但在有用的或能应用的数学意义上来说
，真理是不可以倒行的。

实际上，几个基础学派的领袖都已将其信念搁置了至少很长一段时间。比如克罗内
克，作为直觉主义学派的奠基人之一，在代数学上所做的一些有益的工作并未遵循
他自己的准则，因为正如彭加勒所说，克罗内克忘记了自己的哲学。布劳维也是一
样，在1907年的论文中，他提倡其直觉主义哲学，而在随后的十年里，却忽视了直
觉主义者的原则而致力于拓扑学的研究和证明。

所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正
确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一
样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。尽管两
千年来，数学一直被看作是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、
不可变更的。

如果我们把数学看作是一门科学，那么充分认识科学是如何运作的就显得尤为重要
。科学通过观察和实验，然后建立一个定理，这个定理可能是关于运动、光、声、
热、电、化合等方面的，这些定理都是人为的，人们通过进一步的观察和实验检验
其预言。如果其预言至少能在实验误差允许范围内得以证实的话，该定理就将保留
，但以后也许会被摒弃，并且定理始终是定理，而不像那些深含于物质世界中的真
理那样。我们习惯于对待科学定理的这种态度，因为我们有许多因为新定理而摒弃
旧的科学定理的例子。而人们不接受用这种态度对待数学的唯一原因就是：正如穆
勒指出的那样，基本的算术和欧氏几何已有效运用了许多个世纪，以致人们错把它
当作了真理。但我们现在必须看到数学的任何一个分支都只提供一个可用的理论。
只要它可用一天，我们就须使用它一天，但将来也许会需要一个更好的理论。数学
是人和自然的中介，它是我们自身与外界之间的一座充满险阻、令人生畏的桥梁。
但当我们认识到无论是在现实中，还是在人类的思想中，这座桥的两端都未牢固地
固定时，这是多么地令人悲哀啊！

理性对依据其自身方案建立起来的命题具有判断力，尽管理性优先于其所推出的命
题，但它必须借助于实验从自然中抽取精华，这正是产生理论以及通过自然的行为
决定理论地位的时候。

下述特征可以区分大部分的数学和物理理论。在科学中，理论曾经有过根本性的变
化，而在数学中，大部分逻辑、数论以及经典分析已运转了许多世纪，它们一直而
且仍然适用。从这个意义上说，数学不同于其他科学。无论这部分数学是否绝对可
靠，它们运转得很不错，我们可以把它们称为准经验的。

我们尤其可以从微积分的历史中找到这方面的有利证据。尽管对微积分的逻辑仍有
许多悬而未决的争论，但它仍然不失为一种成功的方法。具有讽刺意味的是，非标
准分析（见第十二章）证实了莱布尼茨的无穷小量理论，但却并未证实所有的微积
分的技巧。

我们甚至可以将可应用性这一标准运用于选择公理。正如策梅罗自己在其1908年的
论文中指出的那样，“皮亚诺是如何得到他的基本原理的呢？……其实他一点也不
能证明这些原理。显然，他只是通过分析在历史上已成定论的一些推理的方式，通
过指出这些原理在直观上是很明显的，且为科学所需要，就得到这些原理而已。”
在为他自己使用选择公理做解释时，策梅罗列举了这一公理所取得的成绩。在其
1908年的论文中，策梅罗引证了这一公理一直（甚至直到那时）在超穷数理论上、
在戴德金的有限数理论上以及在分析的技巧问题上，发挥了多么巨大的作用。

不仅仅是受这样一种需要所驱使，即一定要从几种关于基础的理论中进行选择，各
种学派的领袖人物都力荐将数学在科学上的运用作为可靠性的指导和检验准则。他
们都认识到数学在处理自然现象上的力量与日俱增，即使基础问题被弄清楚了，也
不会放弃这种用途。尽管许多由于各种原因变得俗气虚夸却无甚功劳的数学家已摒
弃科学达百年之久，但最伟大的近代领袖人物，如彭加勒、希尔伯特、冯·诺伊曼
和魏尔仍在坚持不懈地寻求物理应用。

不幸的是，今天的许多数学家并未致力于应用（见第十三章），恰恰相反，他们仍
不断地在纯数学中创造新的结论。我们可以从《数学评论》中获悉当前数学研究工
作（纯粹与应用方面）的进展情形。这本杂志扼要地评述新的、或许是重要的数学
成果，每期登载约2,500多条，即每年约30,000条。

正确的数学所面临的困境是，究竟哪一种学派的思想是最合理的，甚至就是在同一
种学派内部还有许多错综复杂的方向供数学选择。这种困境本将给纯粹数学家们一
个喘息的机会，使他们在创造新数学前先致力于基础性问题的研究，因为这些新数
学可能在逻辑上站不住脚。但他们却轻率地在未被应用的数学领域中产生了新成果
。

对此有好几种答案。许多数学家并未重视基础工作，自1900年以来，他们工作的态
度是典型的人类处理许多他们所面临问题的方式。几乎所有的人都在数学大厦的高
处筑窝建巢。当基础工作者在勘查其基础以确保大厦安全时，房客们则在其上安居
乐业。当基础工作者们越掘越深，已完全消失于视野中时，房客们仍未意识到大厦
的基础有什么危险，也不知道大厦即将倒坍。因此他们继续沿袭传统的数学，他们
不知道盛行的正统数学正面临挑战，依旧乐此不疲。

另外一些同时代的数学家则意识到了基础中的不确定因素，但他们宁愿采取避而远
之的态度对待那些他们所称的哲学问题（与纯粹的数学问题相对）。他们很难相信
基础中，至少是在他们自己的数学活动中会有什么严重的利害关系，他们宁愿恪守
过时的教条。对这些人来说，潜台词就是：今后的75年，让我们就好像什么事也没
发生过那样前进吧。他们在某种普遍的意义上大谈证明，即使根本没有这种东西。
他们撰写和发表文章就好像不确定性根本不存在一样，对于他们来说，文章发表得
越多越好。如果说他们还尊重合理的基础的话，那也只能是在星期天他们祈祷我主
宽恕的时候或者是为了看看他们的对手正在做什么而停止写新论文的时候。个人的
成就是绝对重要的——不管是对还是错。

难道就没有权威可以用基础问题仍需解决的理由来限制事态发展吗？杂志的编辑可
以拒收这样的论文。但一般地，编辑与审稿人作为数学家来说，总是立场一致的。
因此，有点严格味道——1900年的严格——的论文都被接受且发表。如果国王不穿
衣服，法官们也不穿衣服，那么裸体就不足为怪了，也不会引起什么羞愧。正如拉
普拉斯曾经指出的那样，人类的理性在追求进步中遇到的困难要比探求自身时少得
多。

总之，基础的问题被许多深入腹地的科学家们束之高阁。数理逻辑学家倒是致力于
基础问题，但他们却常常被认为是在数学以外的人。

我们不能谴责所有那些忽视基础问题的数学家们。有一些人十分关心应用数学，他
们还提倡为其权宜之计寻求历史上的依据，正如我们所看到的那样（见第五、第六
章），尽管缺乏数系及其运算和微积分的逻辑基础，并且为此数学家已激烈论战了
一个多世纪，但他们仍继续使用原有成果并创造了确实是卓有成效的新的结论。但
证明却是粗糙的，甚至根本不存在证明。当发现矛盾时，数学家们就重新检查其推
理过程并修正之。经常发生这样的情况：推理虽已改进，但即使是以19世纪末的标
准来看，也仍然是不严格的。如果数学家们要等到推理达到这一标准的话，他们只
会一事无成。正像皮卡所指出的，如果牛顿和莱布尼茨知道连续函数不一定可微的
话，他们就不会创立微积分学了。在过去的日子里，冒险和谨慎共同取得了重大的
进步。

哲学家桑塔亚那在《怀疑论和动物式信仰》一书中指出，怀疑对思维至关重要，而
动物式信仰则对行为至关重要。许多数学研究具有极大的重要性，欲使这种重要性
长存，研究工作必须继续进行。动物式信仰正是提供了这样的信念。

有一些数学家曾对基础性争论表示关注。鲍莱尔、贝尔及勒贝格明确表述了他们对
集合论公理化方法有效性的怀疑。但他们仍使用之，只是对由其产生的结论的可靠
性采取保留态度。1905年，鲍莱尔说他非常乐于沉浸在有关康托尔超穷数的推导中
，因为它们有助于一些关键的数学研究。但是，鲍莱尔和其他一些人所选择的这条
道路绝非是轻松愉快的。让我们听听现代最深刻、最博学的数学家之一魏尔的话吧
：

我们从未像现在这样对数学的基础和逻辑无所适从。像现今世界中的每一个人、每
一件事一样，我们也有自己的“危机”，这危机已经存在了近50年（现在是1946年
）。外表上看来，它似乎并未妨碍我们的日常工作，但至少我承认它已在我的数学
生涯中起了相当实际的影响，它将我的兴趣引向那些我认为相对“安全”的领域，
并不断地消耗我从事研究工作的热情和决断力。在人类所有忧虑与认识、苦恼与创
造并存的情况下，那些关心他们所做的工作的意义的数学家也许会和我有同样的经
验感受。

用应用来检验数学的合理性随即产生一个这样的问题，数学的有效性如何呢？就
1800年以前的数学创造和应用而言，我们已经有机会（见第三章）通过多个例子，
说明了数学在描述和预言自然界时是多么出色。但是，在19世纪数学家们引入了一
些概念和理论，无论他们的动机是多么值得称道，但是这些概念和理论都不是直接
从自然中提炼出来的，甚至看上去有悖于自然。例如，无穷级数、非欧几何、复数
、四元数、一些奇异的代数学，各种大小的无穷集以及其他一些我们从未处理过的
创造。在先验的基础上，我们没有理由认为这些概念和理论可以得以应用，那么我
们先让自己相信这种现代数学是有效的，并且实际上是相当不错的吧。

已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广
泛地运用了现代数学。我们在这里仅讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用
。在19世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却
只有少数几个关于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这
些定律汇集起来并研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一
个关于位移电流的方程。对于这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略
地说是一根载有电流的导线）出发，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可
以有各种不同的频率，其中包括我们现在可以通过收音机、电视机接收的频率以及
X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预
言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光是一种电磁现象。

电磁波——由此可以追忆到万有引力（见第三章）——中尤为值得注意的是我们对
什么是电磁波并无丝毫的物理认识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工
程师们创造了收音机和电视机的奇迹。

同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力
场，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点
像水波不断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理
本质一无所知，它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、
物体的运动，以及现在很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导
数描述为消失的量的鬼魂，现代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的
公式表示这些在现实中没有明显对应物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果
，我们可以得到结论，而当我们用物理术语恰当地解释这些结论时，它们又可以用
感性知觉来校验。

爱因斯坦于1931年强调了现代科学的虚构特点：

按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念
来表征的……麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服
从偏微分方程，不能对它做机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿
以来的一次最深刻和最富有成效的变革……

我刚才所阐述的见解，基础的科学理论原理具有完全的虚构性，决非18、19世纪盛
行的那个观点。而这一见解却逐渐从以下事实中找到根据：在思维中，一边是基本
概念和定律，另一边则是必须与我们的经验相关的结论，这两者之间的距离越拉越
大。逻辑结构越简单，用以支持逻辑结构而在逻辑上独立的概念成分也就越少。

现代科学通过对自然现象的合理解释消灭了奇想、妖魔、天使，鬼怪、神秘之力以
及泛灵论，人们为此而称道它。我们还要补充一点：现代科学正逐渐夺走了直觉和
肉体上的满足，这两者都是通过感觉来实现的；它也在逐步消除物质，它采用的是
像场和电子这样的虚构的，理想的概念，对于这些概念，我们仅仅了解其数学定律
。经过一长串的数学推导后，科学与感性知觉之间只存在着那么一点但却至关重要
的联系。科学是合理化的虚构，而正是数学使之合理化。

赫兹(Heinrich Hertz) 这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于
电磁波能在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我
们无一例外地感受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧
超过我们，甚至超过那些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多
得多。”

詹姆斯·琼斯爵士也强调数学在自然研究中的作用。在《神秘的宇宙》中，他认为
：“根本的事实就是，科学为自然所描绘的所有图象以及那些与实际情况一致的图
象，都是数学的图象…… 。”物理概念和机械论被认为构造了数学解释，但似是
而非的是，物理辅助看来只是空想，而数学方程却仍是解释自然现象的唯一可靠保
障。

在《物理学与哲学》一书中，琼斯重新肯定了这一想法。通过那些感觉可以捕捉的
模型和图象，人的思维是不能理解自然运转的方式的。我们绝不可能懂得事件是什
么，但我们必须用数学的语言来描述事件的模式。物理上的收获总是一大堆数学公
式，物质实体的真正本质永远不为人知。

因此，现在看来数学在现代科学中的作用远不只是一种主要工具。用记号和公式将
那些通过实验在物理上观察和建立起来的东西一般化、系统化，然后再从公式中推
导出另外一些信息，而这些信息无论是和观察或实验，还是和其他易于理解的信息
都不太接近，这就是人们所经常描述的数学的作用。但是，对数学作用的这种解释
还远远不够，数学是科学理论的实质。19、20世纪在纯粹的数学结构基础上数学的
应用与以前数学家们采用由物理现象直接提取的概念所做的应用相比，更为有力和
不可思议。尽管现代科学的成就——收音机、电视、飞机、电话、电报、高保真唱
机及录音设备，X射线、晶体管、原子能（及原子弹），在这里我们提及一些大家
熟悉的东西——不能仅仅归功于数学，但是数学的作用比起其他任何实验科学的贡
献来说，更为基本，更为重要。

在17世纪，培根曾对诸如哥白尼和开普勒的天文理论持怀疑态度，他担心他们受到
哲学或宗教上信仰的影响——例如上帝对简单的偏爱或者是上帝对数学化安排的自
然的设计——而不是出于观察或实验的需要。培根的态度当然是合理的，但现代数
学理论已经开始单独占领了物理科学领域，因为它们的作用是如此有效。当然，接
受任何一个学科的数学理论都需要与观察相一致。

因此任何关于数学是否有效的疑问都可以得到肯定的回答，但是数学为什么有效却
不那么容易回答。在古希腊时期及随后的许多个世纪中，数学家们相信有清楚的指
示告诉他们到哪里去寻找黄金——数学是物理世界的真理，逻辑原理也是真理——
于是他们抖擞精神，急切而勤奋地挖掘着。他们的成绩是辉煌的，但我们现在知道
他们当作是黄金的东西并不是黄金，而只是些贵重的金属，这种贵重的金属仍继续
在极其精确地描述着自然的运转。为什么它在确保定量分析上做得如此之好？为什
么人们会希望一个独立的、抽象的、先验的“精确”思想体系对自然界施加影响呢
？

一种可能的答案是数学概念和公理是基于经验提出的，即使是逻辑定律也被承认是
基于经验提出的。但这样的解释过于简单，用它来解释为什么 50只牛加 50只牛等
于 100只牛大概是足够了。在数和几何领域，经验也许的确提示了正确的公理，所
用到的逻辑也只能从经验中学到。但是人类已在代数、微积分、微分方程及其他领
域创造了并未由经验提示的数学概念和技巧。

除了这些非经验数学的例子以外，我们应考虑到数学上的直线由一个无穷多个点的
集合组成。微积分则用了一个由瞬时组成的时间的概念，这些瞬时就好像实数系里
的数那样“汇聚在一起”。导数的概念（见第六章）可以由这样一个物理概念提出
：某段无穷小时间内的速度。但是，当导数表示速度时，它只表示某一瞬间的速度
。无穷集的种类当然无法由经验提出，但它却可运用于数学推理，它对一个令人满
意的数学理论的作用就好像物体对感性知觉一样必要。数学还提供了一些像电磁场
这样的概念，对这些概念的物理本质我们一无所知。

此外，尽管逻辑定律和一些物理原理是由经验得到的，在对物理上有重要意义的结
论进行广泛的数学证明过程中，这些定律会反复用到，并且，证明也只能建于这种
逻辑之上。纯粹的数学推理导致诸如海王星存在之类的预言。自然遵守逻辑原理吗
？换句话说，有这么一种逻辑体系（姑且不论它是如何得到的）能够告诉我们自然
是如何运转的吗？那些涉及到成百上千个关于抽象概念的定理和推论的主要理论与
现实紧密结合，如同公理与现实的结合那样。这一事实说明了数学具有一种表示和
预言实际现象的令人难以置信的精度。这一长串的纯推理为什么会产生如此非凡的
应用结论呢？这是数学上最奇特的怪事。

因此，人们面临着双重奥秘。虽然物理现象可通过物理语言理解，但对那些被证明
与公理本身同样运用的推理，为何数学一样有效呢？而在那些我们对物理现象仅有
猜想，并几乎完全依靠数学来描述这些现象的领域，数学也一样有效呢？这些问题
是不容忽视的。我们的科学技术在很大程度上依靠数学，数学虽然曾在真理的无敌
旗帜下作战，但是在这门科学中是否有某种魔术般的内部力量使之获取胜利呢？

这一问题曾被反复提出，著名的有阿尔伯特·爱因斯坦的《相对论侧记》（1921年
）：

在这里产生了一个让各个时期的科学家均感困惑的迷题。数学作为独立于经验的人
类思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合？没有经验依据，而只靠纯粹的
思维，人类就能够发现实际事物的性质吗？……

只要数学的命题是涉及实在的，它就不是可靠的；只要它是可靠的，它就不涉及实
在。

他继续解释道，数学的公理化使得这种差别清晰化。虽然爱因斯坦知道数学公理与
逻辑原理来源于经验，他仍提出这样一个问题：为什么那些长而复杂的纯推理能产
生如此卓著的应用结论呢？毕竟，这些推理是独立于经验的，而且涉及的概念是由
人类头脑所创造的。

一种现代解释起源于康德。康德确信（见第四章）我们不懂得也不可能懂得自然，
更确切地说，我们拥有的是感性知觉。我们的头脑依据天生的关于空间与时间的先
定结构（康德称之为直觉）来支配感知，因此我们依照欧氏几何的定律组织空间感
知，因为我们的头脑需要如此。而正是因为如此，所以空间感知继续遵循欧氏几何
定律。当然，康德在坚持欧氏几何的问题上是不正确的，但他认为人类思维决定自
然行为的观点确有部分道理。思维决定了我们的时空概念，我们在自然中所看到的
东西无非是我们的思维事先确定好的东西。

另外一种与康德的观点类似，但进一步扩展了的观点是由爱丁顿所提出的，他是当
代最伟大的物理学家之一。按照他的说法，人类思维决定了自然必须如何去运作：


我们发现，科学发展得最快的地方，思维就从自然中重新获得那些原来放进去的东
西。我们在未知的彼岸发现了古怪的足迹。为了解释它的起源，我们设计了一个又
一个深奥的理论，最终我们成功地找到了足迹的来源。哦！原来是我们自己的足迹
。

近年来，康德有关数学为何有效的解释已由怀特海详尽阐述，甚至布劳维1923年在
一篇论文中也对此表示拥护。关键的思想就是：数学并非一门独立于外部世界现象
并运用于其上的学科。相反地，它是我们用自己的方式构想这些现象的基础。自然
世界并不是客观地呈现在我们面前，它只是建立在人的感觉基础之上的人类的解释
或构造，而数学则是组织人类感觉的主要工具。于是，自然而然地，人们用数学来
描述人类已知的外部世界。这样，为何多数人都接受同样的数学结构则可以用这样
一种假设，即人类的思维可能实际运转起来差不太多来解释。或者解释为以下一种
事实：人们出生于某种文化和语言环境中，这种环境制约着他们接受某种特定的数
学系统。欧几里得几何尽管并非是关于空间的最后定论，但它仍占据了统治地位，
这一事实证明了后一种观点。对于日心说也是一样，因为一开始，它与托勒密理论
观察的矛盾并未促使其改进。此外，如果那时托勒密理论能够保持并提炼，与更近
一些的观察相吻合的话，无疑它同样也能非常有效，而只是增加些数学上的复杂性
罢了。

上述思想的实质可以这样表述，我们试图从复杂的现象中提炼出某些简单的系统，
其性质能用数学来描述，这种抽象化的力量是形成对自然令人惊异的数学描述的原
因。另外，数学“透镜”允许我们看到什么，我们就只能看到什么。这一思想还在
如哲学家威廉·詹姆斯的《实用主义》中有所表述：“数学和物理科学所取得的所
有辉煌成就……来源于我们不屈不挠地希望将世界熔铸成我们头脑中的更加合理的
图象，而不是那种由我们的经验杂乱无章地扔在那里的场景。”

一位近代作家用更加诗一般的语言这样描述：“现实是最富魅力的情人，她对你百
依百顺，但她决不是你停泊的港湾；因为她只是一个影子，她在你的梦里，只是当
你自己的思想照射在自然之上时，她才隐约闪现。”

虽然康德解释说我们在自然中看到的东西都由我们的思想事先决定，但它仍未能完
全解释数学为何有效的问题。在康德的时代之后，像电磁理论这样的发展很难说是
人的大脑的奉献还是感觉经过大脑的产物。收音机和电视机本来是不存在的，因为
人脑根据某种内部结构组织感觉，而这种结构则使我们把收音机和电视机作为自然
必须如何运作这样的思维概念的结果来体验。

也有数学家认为数学是自主的（第十四章），也就是说，无论其公理是纯推理的产
物还是由经验得到的产物，在其后，数学的整个体系都是独立于经验的。那么以这
种观点来看，数学又是如何能应用于自然界，特别是物理现象的呢？这里有几种答
案。一种是，数学公理使用了未定义的术语，这些术语可以有不同的解释以满足物
理情形。举个例子来说，椭圆非欧几何在通常的意义上适用于直线，而在直线就是
大圆的球面，它也适用。

彭加勒提出一种典型的解释。他倾向于将数学看作是一门纯推理科学，只推导其公
理里面所包含的东西。于是人们就采用貌似正确的公理，也许再加上感觉的暗示，
建立起欧氏几何和非欧几何。这些几何的公理和理论既不是经验真理，也不是先验
真理，它们既非正确又非错误，正如用极坐标而不用直角坐标一样。彭加勒称这些
几何为度量物体的老一套，或概念的虚假定义。我们选用最方便的那一种几何，然
而，他又坚持说我们应该用直线的通常解释——即拉紧的线或直尺的边缘——来运
用欧氏几何，因为这种解释是最简单的。那么为什么我们还应继续运用那些推论呢
？彭加勒的回答是我们通过修正物理定律使数学变得合适。

为了说明彭加勒的论点，让我们看一下测绘员是如何确定距离的。他们先选定一条
方便的基线AB（图15.1），其长度可以通过直尺实测得到。为确定AC间距离，测绘
员用置于A处的望远镜对准C点，然后再转动望远镜直到看到点B，从经纬仪的标度
上他可以读出转动了多少角度（这样就测得了角A的大小）。用同样的办法测得角
B，接着，假定从C到A和从B到A的光线都走直线（拉紧的细绳），由于欧氏几何的
公理适用于拉紧的细绳，于是，他采用欧氏几何或三角学计算AC和BC。但是，测绘
的结果也许是错的，为什么呢？从C到A的光线有可能是按图15.1所示的虚线前进的
，在A点的测绘员为接收光线就必须将其望远镜对准光线的切线方向，这样，望远
镜实际指向的方向就是C′的方向了。尽管此时测绘员在望远镜中看到的是点C。因
此，他实际测得的角度是C′AB而不是CAB。那么接着用欧氏几何就可能导致AC和
BC的错误结果。



图15.1

光线是如何行进的呢？某些时候其路径确为直线；但有时光线会由于大气的折射效
应变弯。假设测绘员得到的AC和BC的结果是不正确的，即使他没有理由相信光线的
路径是曲线，他也必须按曲线处理。这样，他才能修正在A点和B点角度的测量值，
并运用欧氏几何得到AC和BC的正确值。

彭加勒的论点——数学可以为符合物理现实而制造，还有另外一个例子。让我们看
看他是如何解释地球是否自转这个问题的吧。他认为我们应该把地球自转作为一个
物理事实来对待，因为其可以使我们设计一种较为简单的天文学的数学理论。事实
上，数学理论的简单性也是哥白尼和开普勒所能提出的用以支持其日心说，反对老
的托勒密理论的唯一论据。

彭加勒的哲学有其可取之处。我们确实试图采用最简单的数学，为使我们的推理符
合物理事实而确有必要时，我们便会变更物理定律。但是，今天数学家和科学家所
采用的准则是整个数学理论和物理理论的简单化，如果我们必须用到非欧几何——
正如爱因斯坦在其相对论理论中所做的那样——来产生最简单的组合理论，我们也
就用之。

尽管彭加勒解释如何使数学行之有效的观点更为明确，但他也确实在一定程度上对
康德的解释表示赞同。因为他认为自然与数学的和谐是由人类思维所创造的。在《
科学的价值》中，他说：

人类理性所揭示的在自然中的和谐是否不依赖于人类理性而存在？毫无疑问，并非
如此。完全独立于精神，却又构想它、理解它、探求它的现实是不存在的。如此客
观的世界，即使存在的话，我们也永远无法深入其中。我们称之为“客观现实”的
东西，严格地说，就是那种为一些思想者所共有，并可能会为所有的人所共有的东
西。这种共有的部分，我们将看到，只可能是数学定律表示的和谐。

数学为何有效，还有一种未免有些模糊，也许过于简单的解释。按照这种观点，存
在着一个客观的物理世界，人们不断的努力使数学与之相符。在应用过程中，发现
数学有歪曲真相或明显错误时，我们便修正数学。希尔伯特在第二届国际数学家大
会（1900年）上的演讲中阐述了这一观点：

即使当纯思维的创造力进行工作时，外部世界又开始起作用，通过实际现象向我们
提出新的问题，开辟新的数学分支。而当我们试图征服这些新的，属于纯思维王国
的知识领域时，常常会发现过去未曾解决的问题的答案，这同时就极有成效地推进
着老的理论。据我看来，数学家在他们这门科学各分支中所经常感觉到的那种令人
惊讶的相似性和协调性，其根源就在于思维与经验之间这种反复出现的相互作用。


关于数学为何有效的解释越简单，重申那些自古希腊时期一直到1850年左右数学家
们所相信的东西就越不可信。一些人仍然相信自然是按数学设计的，他们也许认为
许多物理现象的早期数学理论是不完美的。但他们却强调不断的完善它则不但可包
含更多的现象，而且还可提供与观察更精确的一致性。因此，牛顿力学取代了亚里
士多德力学，相对论则完善了牛顿力学。这一历史是否暗示了确有某种设计存在，
而人类正在越来越靠近真理呢？埃尔密特对数学与科学的和谐性做了如下解释：

如果我未被蒙蔽的话，确实存在着一个由数学真理汇集成的世界，就正如存在着一
个物理现实的世界一样，我们只有通过我们的智慧去接近它。这两者均为神的创造
，是独立于我们存在的，它们之间之所以呈现差别是因为我们力不能及，而在一种
更为有力的思考方式下，它们是一体的，是同一种事物。这两者的综合已被部分揭
示，这就是在抽象数学与所有物理分支之间存在着不可思议的一致性。

在给可尼斯伯格（LeoK?ningsberger）的一封信中，埃尔密特又说：“这些分析观
点是脱离于我们存在的，它们构成一个整体，只有一部分对我们坦露，毫无疑问，
它与我们通过感觉所了解的其他事物全体有着神秘的联系。”

詹姆斯·琼斯爵士在《神秘的宇宙》中也接受老观点，即“从上帝所创造的产物的
内在证据看来，这位伟大的宇宙建筑师现在似乎是一位纯数学家。”在开始，他认
为人类的数学“还未与基本现实接触”。可到了这本书的末尾，他却变得愈发武断
：

自然似乎精通纯数学的那一套规则。这是因为，在他们的研究工作中，数学家通过
他们自身的内在意识而没有在任何可以的范围内依靠他们对外部世界的经验来阐述
这些规则……无论如何，自然和我们有意识的数学头脑是以同样的法则运转的，这
一点无可争辩。

爱丁顿在其晚年也开始坚信自然是用数学设计的，在《基本理论》（1946年）中明
确地断言说，我们的头脑可以从先验知识中建立一门关于自然的纯科学，这门科学
是唯一确定的，任何其他的都会有逻辑上的矛盾。因而从我们的头脑中可以获知光
速是有限的，甚至自然中的常数——例如质子质量与电子质量之比——也可以先验
地确定。这种知识独立于宇宙的实际观察并且比经验知识更为确定。

伯克霍夫是美国历史上第一个伟大的数学家，他在1941年毫不迟疑地重复并支持爱
丁顿的论点：

……在物理定律的整个体系中，没有什么不能从认识论的考虑出发明确地推出的了
，人们通过自身的思维体系将其感官经验进行解释。如果某一理性生物并不熟悉我
们的宇宙但却熟悉这种思维体系，那么它也能够得到我们通过经验所得到的所有物
理知识，……例如，它可以推知镭的存在及其性质，而不是地球的大小。

爱因斯坦早期也曾表述过一种合理但不十分充分的解释以说明为什么数学与现实符
合：

物理学的发展表明，在某一时期，在所有可想象到的构造中，只有一个显得比别的
都要高明得多。凡是真正地研究过这问题的人，都不会否认唯一地决定理论体系的
，实际上是现象世界，尽管在现象同它们的理论原理之间并没有逻辑的桥梁；这就
是莱布尼茨非常中肯地表述的“先定的和谐”。

在《我眼中的世界》（1934年）中，爱因斯坦表达了他成熟的观点：

迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象得到的最简单的
数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些
概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提供合适
的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是
检验数学结构的实用性的唯一标准，但是这种创造的原理都存在于数学之中。因此
，在肯定的意义上，我当然地认为，像古人所梦想的纯粹思维能够把握实在。

在另一篇文章中，爱因斯坦重新阐述了他的观点，这段关于上帝的话十分著名：“
无论如何，我都坚信上帝不是在扔骰子。”就算上帝这样做了，也正如爱默生曾说
过的，“上帝的骰子总是灌过铅的①。”爱因斯坦在这里并未断言我们今天的数学
定律都是正确的，但是其中有些是正确的，并且我们有望越来越接近它们，正如爱
因斯坦所说：“上帝难于捉摸；但并无恶意。”

像爱因斯坦一样，作为伟大的历史学家和科学哲学家之一的皮埃尔·杜恒在《物理
理论的目的及结构》中也从怀疑转向肯定。他先是将物理理论描述为“一种以在逻
辑上将一堆实验定律概括和分类，但不要求解释这些定律为目的的抽象体系。”理
论是近似的、暂时的和“被剥去所有客观注释的”。科学只熟悉那些可觉察的外观
，我们应该放弃这种幻觉，在理论化过程中，我们是在“撕去这些可觉察外观的面
纱”。而当一个天才科学家给混乱不堪的景象注入数学的秩序和清晰时，他就以不
能揭示宇宙的真正本质的抽象符号来取代相对易于理解的概念。但在最后杜恒却这
样说：“我们不能想象这种秩序和组织（由数学定理所产生）不是现实的影像。”
这个世界是由一位伟大的建筑师用数学设计的，上帝永远在进行几何化，而人类的
数学则描述了这一设计。

魏尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：

自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这
便是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史
上，这种内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。


然而，愿望也许是思想之父，因为在《数学与自然科学的哲学》一书中，他补充道
：

如果没有一种对真理和现实先验的信仰支持，如果在事实和结构与思想的意象之间
没有持续不断的相互作用，那么，科学便会枯萎死去了。

尽管琼斯、魏尔、爱丁顿以及爱因斯坦的观点不容轻视，但他们关于数学与自然的
关系的观点并未占统治地位。的确，对自然的数学描述所取得的成功是如此令人震
惊，以至于他们提供的解释看上去都是合理的。就如在许多个世纪的数学家们眼中
，欧氏几何是不容置疑的真理。但是，在今天，这种对数学化设计的信仰看上去却
是牵强附会的。

还有一种数学与物理世界关系的解释，其考虑了某些联系但与通常人们所知的大相
径庭。在过去的一百年中，出现了自然的统计学观点，稍具讽刺意味的是，这种观
点由拉普拉斯所发起，而他本人却坚信：自然的行为是根据数学定律严格确定的，
而自然行为的原因并不总为人知，观察结果只是近似正确而已。因此，人们应运用
概率理论确定最有可能的原因和最可能是正确的数据。在这个问题上，他的《概率
的分析理论》（第三版，1820年）是经典之作。概率论和统计学的历史在这里没必
要评述，但是在不到一个世纪的时间内，它引出了这样一个观点：自然的行为根本
不是确定的，而是相当杂乱无章的。但其中有某个最有可能的行为，平均行为，这
就是我们所观察到并认为是由数学定律所决定的行为。正如寿命各不相同的人，有
的在婴儿时便夭折了，有的则活到一百岁。对所有的人来说，不只有一种估计寿命
，而是在各个给定年龄都有一个估计寿命。根据这些数据，保险公司才能成功地做
成生意。近年来自然统计学观点之所以得到了巨大的支持是因为量子力学的发展，
按照这种观点，存在没有刚性的、离散的、受限于一定区域的微粒。它们在空间的
任何一部分都仅以某一种概率存在，但在某一处概率最大。

无论如何，根据统计学观点，自然的数学定律顶多描述自然是如何以最有可能的方
式运作的，但它不排除地球突然迷失于空间的可能性。自然也可能决定不按最有可
能的方式运转。当今一些科学哲学家认为数学无法解释的问题仍旧无法解释。这一
结论由皮尔斯首先提出：“有些秘密极有可能仍不为人知。”

稍近一些时候（1945年），薛定谔在《生命是什么》中说，人类发现自然定律的奇
迹也许连他们自己也不能理解。另一位物理学家，极负盛名的戴森
(FreemanDyson)赞同道：“我们可能仍未达到了解物理世界与数学世界间关系的程
度。”这句话还以爱因斯坦的评述作为补充，“关于这个世界，最不可理解的是，
这个世界是可以理解的。”

1960年，维格勒(EugeneP．Wigner)，另一位1963年诺贝尔物理学奖获得者，在一
篇文章里，探讨了有关数学在自然科学中不可思议的有效性问题，他的文章正以此
为题，但除了重申论点外未作更多的解释：

用以阐述物理定律的数学语言的恰如其分是一个奇迹，它是我们不明白也不应拥有
的令人惊叹的礼物。我们应为此感到高兴，不管怎么样，我们希望它在将来的研究
中继续有效，并且能继续扩展，变得令我们更满意，就算同时可能会使我们迷惑不
解，也以此拓宽了知识面。

最后的几句辩护式的“解释”实在太少，这几句解释承认了它对数学为何有效并未
作出回答，但是富有感染力的语言都弥补了这一点。

任何关于数学为何有效的解释不论其是否令人满意，认识到自然和自然的数学表示
并不相同才是重要的，它们的差别不仅仅在于数学是理想化的产物。数学三角形决
非一个物理三角形，数学走得更远。在公元前 5世纪，伊利亚的芝诺(Zeno of
Elea) 提出了若干悖论。不管其目的如何，甚至是第一个关于运动的悖论就昭示了
数学的概念化和经验之间存在差异。芝诺的第一个悖论是这样的：一个跑步者永远
不可能到达跑道的终点，因为开始他必须跑过全程的1/2，然后跑过剩下路程的
1/2，然后再是剩下路程的1/2，如此下去，那么他必须跑过



的路程。于是，芝诺认为，跑无限长的路程必须要无限长的时间。

一种关于芝诺悖论的物理解释，也是最明显的解释是：跑步者可用有限步跑完全程
。但是，即使我们接受芝诺的数学分析的话，所需的时间也应是1/2分钟加上1/4分
钟，加上1/8分钟，等等，这样，所有这些无限个时间间隔加在一起等于1分钟。这
一分析完全脱离了物理过程，但其结果仍是一致的。

也许，人们只有通过引入极限甚至是人造的概念才能建立起自然的秩序。也许人类
的数学仅仅是一个可行的方案，也许自然本身更为复杂或者并没有什么固有设计。
但是，数学仍不失为一种探索，是表示和掌握自然的一般方法。在那些数学行之有
效的领域，它是我们的全部资本；如果它不是现实本身，它就是我们所能达到的与
现实最接近的东西。

尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然某些领域的道路，使
我们走得比全部预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的
成就，这本身就不可思议。数学解释也许确系人为，它也许是一个童话，但却是一
个合乎道义的童话。即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。

数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来
看待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并非此人
一样。数学最多只描述了自然的某些过程，但其记号并未容纳所有的一切。

此外，数学处理的是物理世界中最简单的概念与现象，它的研究对象不是人而是无
生命的物质，它们的行为是重复性的因而数学可以描述。但在经济学、政治理论、
心理学以及生物学领域，数学就无能为力了。即使在物理王国，数学也只研究简单
化的事物，这些简单化的事物与现实的接触就如同曲线的切线仅切曲线于一点一样
。地球环绕太阳的轨迹是一个椭圆吗？不。只有当把地球和太阳都看作是质点而宇
宙中其他天体的影响都忽略不计时才能成立。地球上的四季是年复一年循环的吗？
也很难说，我们只能说从其大体上考虑，就像人们能够感受到的那样，四季是这样
循环的。

我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？赫维赛曾说：我能
因为不知道消化的过程而放弃进食吗？经验驳斥了怀疑者。合理的解释则为自信所
不屑。在给予宗教、社会科学和哲学全部应有的尊重，而我们又清楚地认识到数学
并不处理我们生活中的这些方面的情况下，数学在给予我们知识方面仍然取得了不
可限量的成功。这门知识并不只是建立在其正确性的断言上，在每台收音机到原子
能发电厂的工作中，在日食或月食的预言中，在发生于实验室的成千上万的事件中
，在日常生活中，每天我们都可以检验它的正确。

数学处理的虽是较简单的物理世界的问题，但在其领域中它获得了最成功的发展。
人类从数学中获得的力量促使他们希望自己能占有一席之地。数学治理了自然，减
轻了人类的负担，从数学的成功中人们鼓起了勇气。

关于数学为何有效的问题并不仅限于学术范围以内。数学在工程上的运用过程中，
人们在多大程度上依赖数学预言和设计呢？设计一座桥梁时，还需要用无穷集的理
论或者选择公理吗？桥梁不会倒坍吗？庆幸的是，一些工程项目所用定理有过去的
经验作为坚强后盾，人们可以放心使用。人们有意过度设计许多工程项目，于是，
桥梁用钢这样的材料建造，但由于我们有关材料强度的知识并不准确，因而工程师
便采用较理论要求强度为大的粗索和桁梁。但是，在建造以前从未有过的一类工程
时，我们就必须注意所用数学的可靠性。在这种情况下，我们就应采取小心谨慎的
态度，在建造本身开始以前采用小规模的模型或其他检验措施了。

这一章的中心是找到一些解决数学和数学家所面临的困境的方法。数学并没有被普
遍采纳的体系，各个不同学派所提倡的许多条道路也不可能一一探究，因为这样做
将会掩盖数学的真正目的，即促进科学的进步。因此，我们提倡用目的作为标准。
我们也已经探讨过由这一过程引发的问题和结果了。然而，当我们强调数学对科学
的应用时，并不排除数学王国里其他有价值的，甚至是明智的探求途径。我们确已
指出（见第十三章），即使在探求应用数学的过程中也需要各种各样的协助活动，
如抽象化，一般化，严格化及方法的改进。除此之外，我们还可证明那些与数学不
直接相关的基础研究在科学探索中是有用的。直觉主义者原打算用它们的结构主义
方案，取代毫无意义的存在定理，却产生了计算量的方法，而纯粹的存在定理只是
告诉我们这些量的存在。为了简单之故，我们举个老例子，欧几里得证明了任意一
个圆的面积与其半径的平方之比对于所有的圆都相同。这个比当然是π，于是欧几
里得证明了一个纯粹的存在定理。但是知道π的值对我们计算任意给定圆的面积，
显而易见是很重要的。还好，阿基米得的近似计算和后来的一些级数展开使我们能
够在直觉主义者向纯粹的存在定理发起挑战以前很久就计算出了π值。同样，其他
一些已证明其存在的量也应计算出来。因而，结构主义方案应予以贯彻。

进行基础研究还有一种潜在的价值，这就是可以得出可能的矛盾。相容性并未证实
，因此，找到矛盾或者找到明显荒谬的定理至少可以淘汰一些现在耗费数学家时间
和精力的待选择品。我们对数学地位的解释当然不尽人意，我们剥夺了它的真实性
；它不再是一个独立的、可靠的、有着坚实基础的知识体系。许多数学家背弃了对
科学的热诚，这在历史上的任何时期都是令人扼腕的事，特别是在应用可能为数学
指明了正确的前进方向时尤为可叹。而已应用的数学的惊人力量仍有待于解释。

抛开这些缺点和局限性不谈，数学对人类的贡献还有许多。它是人类最杰出的智慧
结晶，也是人类精神最富独创性的产物。音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦
人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物
质生活，而数学则能够做到所有这一切。另外，在推理力所能及的方向，数学家们
已尽了最大的努力使人类的头脑能维护其结论的合理性。“数学一样的精确”作为
一条谚语并非偶然，数学仍然是可用的最好知识的典范。

数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇
气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染
的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系。在这些努力中，数学也许
起到了作用，也许并无作用，但是我们对成功不可抑制的渴望来源于数学。

数学的价值至少不比任何人类创造小。如果所有这些价值不易于或不能广泛地为人
们所领悟和欣赏的话，所幸它们均被利用了。如果说攀登数学殿堂较攀登音乐殿堂
更为艰巨，那么所得到的报酬也将更为丰厚，因为它包括人类创造可提供的几乎所
有的智力的、艺术的和情感的价值。攀登一座高山也许要比攀登一座低矮的山头更
为费力，但是高处的视野可延伸到更远的地平线处，而我们能提出的唯一的问题则
是哪一个价值更为重要。然而，这个问题各人的回答不尽相同，因为个人的判断、
意见和品味已溶于其中了。

就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永
远不会达到。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地
难于捉摸。然而，理想具有力量和价值，公正、民主和上帝都是理想。的确，也有
在上帝的幌子下被谋杀的人，审判不公的案件也臭名远扬，但是，这些理想是千百
年来文化的重要产物。数学也是一样，尽管它也仅是一种理想。也许细想这一理想
将会使我们更加清楚地认识到在任一领域，我们该选择什么方向才能获取真理。

人类面临的困境实在可怜。我们是广袤宇宙中的流浪汉，在自然的劫后余迹前孤立
无援，我们依仗自然提供食物和必需品，在我们为何生于这个世界，又应为什么而
奋斗的问题上都被一致化了。人类孤单地生存在一个冷酷的、陌生的宇宙中，他凝
视着这个神秘的，瞬息万变的、无穷的宇宙，为他自己的渺小感到迷惑、困扰甚至
惊骇不已。正如帕斯卡所说：

究竟为什么人存在于自然界中？无与无穷有关，全体与无有关，对无和全体及无穷
之间的点我们一无所知。事物的结束和开始都被全无破绽地隐藏在一个难以洞察的
秘密之中。同样，人类也无法知晓他为何来自一无所有，又如何被卷入了无穷无尽
。

蒙田（Michel EyquemdeMontaigne）和霍布斯也用不同的语言阐述了同样的观点：
人的生命是寂寞的、穷困的、艰险的、野蛮的和短暂的，他是偶然事件的牺牲品。


凭着一点有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感官瞬间
揭示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在
寻求秩序，他的目的，就是建立与瞬变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他
获取有关其生存环境奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物
，就是数学。它并不是完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然
而，数学是我们与感性知觉世界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数
学的基础并不牢固，但是数学仍是人类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保
管并节俭使用。它处于理性的前列，毫无疑问将继续如此，就算是进一步的研究复
查又发现新的缺陷。怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作是人类精神上神授
意的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是，毫无疑问，它是神授的。