Fibonacci Nim (斐波那契取石子博弈)

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样，这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。定理的证明可以在这里 看到，不过我觉得更重要的是自己动手分解一下。

比如，我们要分解83，注意到83被夹在55和89之间，于是把83可以写成83=55+28；然后再想办法分解28，28被夹在21和34之间，于是28=21+7；依此类推 7=5+2，故 ；

如果n=83，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，如果猜测正确的话，（面临这5颗的先手实际上是整个游戏的后手）那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过，同样的道理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反过来如果n是Fibonacci数，比如n=89：记先手一开始所取的石子数为y，若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34，所以只需要考虑先手第一次取得石子数y<34的情况即可，所以现在剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，于是我们把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，B只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

下证：f[j]<=2y

反证法：假设f[j]>2y，则 y < f[j]/2 = (f[j-1] + f[j-2])/2 < f[j-1]

而最初的石子数是个斐波那契数，即 f[k]=x+y < f[k-1]+f[i]+…+f[j]+f[j-1] <= f[k-1]+f[i]+f[i-1] <= f[k-1]+f[k-2] <= f[k] （注意第一个不等号是严格的，矛盾！）