Shadow - Soft Shadow Mapping算法及推导过程

Shadow Mapping已经成为当前3D游戏的标配。传统SM+PCF可以很好地实现日光环境下的Hard Shadow，但如果要实现由昏暗灯光所产生的Soft Shadow，则要么效果过于生硬(sample次数少)要么效率低下(sample次数多)。因此，越来越多的游戏开始使用能够充分利用硬件特性的软阴影算法。
这里主要总结各种Soft Shadow Mapping的算法思想和推导过程，不提及实现上的细节和具体代码，等有空再写写Demo。
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Standard Shadow Maps
Shadow Map的基本思想：Light View画一遍Depth，然后Camera View渲场景的时候，把Pixel坐标变换到Light Space，比较Depth即可（Pixel的Depth大于Shadow Map的Depth即在阴影区）。也可以直接是Screen Space对Depth Map做Post-processing。

传统方法可以用Percentage Closer Filtering解决锯齿问题，也很简单，Pixel坐标对应过去之后，比较周围的多个点，计算出阴影区的百分比。此外，还可以通过Bilinear Filter让阴影更平滑，跟PCF差不多，比较相邻的4个点，然后根据Texel的Offset做插值。值得注意的是，现在的GPU都支持Hardware Shadow Map，可以直接通过tex2Dproj( u, v, z, p )这条指令实现2x2PCF+BF。

Perspective Shadow Maps & Trapezoidal Shadow Maps
这两种方法沿用Shadow Map的基本思想。为了解决Shadow Map精度问题，对Depth Pass的变换矩阵做做手脚。

Variance Shadow Maps
VSM的想法很棒，可以说Soft Shadow是从VSM开始才往利用硬件Filter的方向发展。首先，也是Light View的Depth Pass，但是这次写入2个值，一个通道写入Depth，另一个通道写入Depth²。接着对出来的这张 [Depth, Depth²] 的Texture做Blur。直观上来讲，做Blur的结果就是取周围一定范围内的点的平均值（期望值），也就是Blur完之后得到一张 [E(Depth), E(Depth²)] 的Texture。有了这张Texture，后面便可以根据方差公式 V(Depth)=E(Depth²)-E(Depth)² 计算得到方差。

最后，根据Chebychev’s inequality（切比雪夫不等式）
P(x≥t) ≤ σ²/(σ²+(t-μ)²) 式中σ²为方差V(Depth)，μ为期望E(Depth)
将Pixel坐标变换到Light Space之后的Depth代入t，即得到某个点周围一定范围内大于深度t的点的比率（注意切比雪夫不等式得到的只是一个范围≤，而这里近似的取不等式右侧的结果P_max）。其实就是一个微分级别的PCF值，于是可以非常高效地得到平滑阴影。

很可惜的是，在Depth变化较大的区域（方差较大），VSM会有缺陷（Light bleeding）。因为根据切比雪夫不等式，在方差较大的情况下，(t-μ)必须足够大，才能让不等式右边趋于0。于是又有了LVSM来解决这个问题。

Layered Variance Shadow Maps
为了解决VSM的Light bleeding，对VSM的Shadow Map进行分层，将每一层次里面的Depth区间控制在一定范围内，也就是降低可能出现的方差值。

Convolution Shadow Maps
CSM提出了一种非常好的图形学算法思路。其推导过程比较华丽，用到了几个数学上的概念：卷积，傅里叶级数。（注意还有另外一种CSM – Cascaded Shadow Maps，两者作用是不一样的）

首先，假设x⊆R³为某一点的世界坐标，d(x)为该点到Light Source的距离（也就是Light Space的Depth）。p⊆R²为该点对应到Shadow Map上的坐标，z(p)为该点对应的Shadow Map上的Depth。于是可以定义一个Shadow Test函数：
s(x) = f(d(x), z(p)) 当d>z时，s为0，反之为1
为了得到软阴影，我们希望能对s进行卷积，即希望得到：
s_f(x) = ∑w(q)f(d(x),z(p-q)) = [w*f(d(x), z)](p)（亮点1）
如果能对上式运用卷积定理，得到如下式的结果，则表明可以通过对z(p)做卷积而得到软阴影。（即可以利用Blur、硬件Bilinear Filter和Mipmap来达到软阴影）
[w*f(d(x), z)](p) = f(d(x), [w*z](p))
可惜的是，f(d(x), z(p))并不是线性函数（而是阶跃函数），无法对其运用卷积定理。为此，CSM转而采用数值分析方法，用傅立叶级数来逼近函数f。（亮点2）

虽然CSM的推导过程相当华丽，但是本身缺点太多（比如：内存开销较大，Shadow Map Pass需要输出的数据量太大，带宽内存都吃得太紧），导致其实用价值很低。

Exponential Shadow Maps
明白CSM的原理之后，ESM就显得相当简单了。

(to be continued)