1分2分5分的硬币，组成1角，共有多少种组合

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我把比较经典的解法整理出来，一般的for循环解法有空在整理

思路分析：

设1分个数为x，2分个数为y，5分的硬币个数为z，则1*x+2*y+5*z=10；
5*z=10-x-2*y；即：
z x对应可能的取值
z=0 时x=10 8 6 4 2 0（6个）
z=1 时x=5 3 1（3个）
z=2时x= 0（1个）
总共个数为6+3+1=10.
因此，按照规律，本题目组合总数为10以内的偶数+5以内的奇数+0以内的偶数
某个偶数m以内的偶数个数（包括0）可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以，求总的组合次数可以编程为：
number=0;
for (int m=0;m<=10;m+=5)
{
number+=(m+2)/2;
}
cout<<number<<endl;
这样程序是不是简单多了（只需要累加3次，而上面的3层循环呢？大家自己想想）。别人考你肯定不是考你会不会编这个程序，是考你如何去使程序的复杂度降低。

 

C语言代码：

#include <stdio.h>
void main(void) {
 int number=0,m;
 // 因为5*z=10-x-2*y<=10；z的取值范围为0、1、2(注意5*z)，所以m的步长是5啊
 for (m=0;m<=10;m+=5) {
  number += (m+2)/2;
 }
 printf("组合数的个数为：%d\n",number);
}

 

该算法对本题没问题，能否提炼出通用算法。
如果6分、4分、2分组成100分怎么处理呢？

和先前一样的道理，2分为x，4分为y，6分为z。则6*z=100-2*x-4*y，可化简为：
3*z=50-x-2*y
z可能的取值为0、1、2···16，
当z=0时，x可以为50 48 46···2 0（26个）
当z=1时，x可以为47 45 43···3 1（24个）
当z=2时，x可以为44 42 40···2 0（23个）
当z=3时，x可以为41 39 37···3 1（21个）
·
·
·
当z=15时，x可以为5 3 1（3个）
当z=16时，x可以为2 0（2个）

因此，按照规律，本题目组合总数为50以内的偶数+47以内的奇数+44以内的偶数+···+5以内的奇数+2以内的偶数
某个偶数m以内的偶数个数（包括0）可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以，求总的组合次数可以编程为：
number=0;
for (int m=0;m<=50;m+=3)
{
number+=(m+2)/2;
}
cout<<number<<endl;

是不是可以看出规律了呢？实际上就是看表达式（这里是3*z=50-x-2*y），就是把最大乘数（这里是3）放在一边，这也是m增加的步长。而m的最大取值也就是表达式中的这个常数。