活动选择问题（动态规划算法和贪心算法）

 

问题描述：

        有一个需要使用每个资源的n个活动组成的集合S= {a1，a2，···，an },资源每次只能由一个活动使用。每个活动a都有一个开始时间和结束时间，且 0<= s < f < 。一旦被选择后，活动a就占据半开时间区间[s,f]。如果[s,f]和[s,f]互不重叠，则称两个活动是兼容的。该问题就是要找出一个由互相兼容的活动组成的最大子集。

动态规划：

一、

        定义子集合Sij = { ak  S ： f i <= sk < f k <= s j}, 即每个活动都在ai结束之后开始，在aj开始之前结束，亦即Sij包含了所有和ai和aj兼容的活动。 

假设S中的活动已按照结束时间递增的顺序排列，则Sij具有如下的性质：

1.当i <= j时，Sij 为空，

2.假设ak属于Sij，那么ak将把Sij分解成两个子问题，Sij包含的活动集合就等于Sik中的活动+ak+Skj中的活动。从这里就可以看出Sij的最优子结构性质：Sij的最优解包含了子问题Sik和Skj的最优解。假设Sij的最大兼容活动子集为Aij，那么有

Aij = Aik U  ak U Akj。整个活动选择问题的最优解也是S0，n+1的解。

假设c[i,j]为Sij中最大兼容子集中的活动数。则有如下递归式：

      C[i,j] =         0                       如果 Sij 为空

                       max{c[i,k] + c[k,j] +1 }  i < k < j & ak  Sij  如果Sij 不为空

根据这个递归式，可以得到一个动态规划解法。

void activity_selection( const int starts[], const int finished[], int counts[][activityNum+2],int partition[][activityNum+2], const int actNum )//counts[i,j]就是C[i,j],partition[i,j]表示Sij使用哪个活动划分可以得到最大兼容活动集合{int i,j,k;for( i = 0; i < activityNum+2; ++i )for( j = 0; j < activityNum+2; ++j ){ counts[i][j] = 0;partition[i][j] = 0;}for( i = activityNum; i >=0; --i ){for( j = i+1; j < activityNum+2; ++j ){for( k = i+1; k < j; ++k ){if( starts[k] >= finished[i] && finished[k] <= starts[j] )//s【i，j】不为空{if( counts[i][j] <= (counts[i][k] + 1 + counts[k][j]) ）                     {counts[i][j] = (counts[i][k] + 1 + counts[k][j]);partition[i][j] = k;}}}}}//for}

算法的时间复杂度为O（n3）。

二、

除了上面的思路外，我们还可以参照最长单调递增子序列LIS的解法，得到另外一个动态规划方法。

我们定义一个数组maxCompatibleSet，元素maxCompatibleSet[i]表示S0i中最大兼容活动子集中的活动数目，那么整个集合的最大兼容活动子集的大小就是maxCompatibleSet[n+1]。为了确定最大兼容活动子集中的活动，我们可以定义一个数组trace，

Trace[i]表示在求解maxCompatibleSet[i]时使用哪个活动对集合S0i进行划分可以得到最大的maxCompatibleSet[i]。

//类似于LISvoid activitySelection( const int started[], const int finished[], int maxSetNum[], int trace[], const int activityNum ){int i, j;for( i = 0; i < activityNum+2; ++i ){maxSetNum[i] = 1;trace[i] = -1;}for( i = 1; i < activityNum+2; ++i ){for( j = 1; j < i; ++j ){if( finished[j] < started[i] && maxSetNum[i] <= maxSetNum[j] ){maxSetNum[i] = maxSetNum[j]+1; trace[i] = j;}}}}

该算法的时间复杂度为O（n2）。

贪心算法：

贪心算法的主要思想就是对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，产生一个局部最优解。

在活动选择问题中，每次的贪心解就是选择Sij结束时间最早的活动，这样就给后面的活动留下了目前看来最多的时间。假设活动已经按照结束时间递增的顺序进行排序，那么我们只需要遍历一次所有活动就可以得到最大兼容活动子集了。

递归版本：

void recursive_activity_selector( const int started[], const int finished[],vector<int>& result, int i,int j){if( i >= j )return;int l;for( l = i+1; l < j; ++l ){if( started[l] >= finished[i] && finished[l] <= started[j] ) {result.push_back(l);break;}}recursive_activity_selector( started, finished, result, l, j );}

 

迭代版本：

void greedy_activity_selector( const int started[], const int finished[], vector<int>& result, int i, int j ){int l;for( l = i+1; l < j; ++l ){if( started[l] >= finished[i] && finished[l] <= started[j] ){result.push_back(l);i = l;}}}

贪心算法的时间复杂度为O（n）。